Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
\(\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\)
Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2\)
Für \(a=-2\) stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)\)
Anhand der zweiten Zeile (der \(x_2\)-Koordinaten) erkennt man, das \(k=\frac{1}{2}\) sein muss.
Setzt man diesen Wert für k in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem\[\begin{align*} &I: \ 2a &=3 \\ &II:\ a-2 &=\frac{1}{2} \end{align*}\]Dieses LGS besitzt keine Lösung für \(a\). Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.