Änderungen von Dokument Lösung Ebenenschar

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,49 +1,13 @@
1		-=== Teilaufgabe 1 ===
2		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		-{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
4		-{{/detail}}
5		-
6		-
7		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8		-Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
9		-<br>
	1	+1. ((( Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
10	10	{{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}}
11		-<br>
12	12	Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
13		-<br>
14	14	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
15		-<br>
16	16	Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
17		-{{/detail}}
18		-
19		-=== Teilaufgabe 2 ===
20		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21		-{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}}
22		-<br>
23		-<br>
24		-Das Gleichungssystem
25		-<br>
26		-
27		-{{formula}}
28		-\begin{align*}
29		-&I: \ 2a &=3 \\
30		-&II:\ a-2 &=0,5
31		-\end{align*}
32		-{{/formula}}
33		-
34		-besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
35		-{{/detail}}
36		-
37		-
38		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39		-Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
40		-<br>
	6	+)))
	7	+1. (((Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
41	41	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}}
42		-<br>
43	43	Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss.
44		-Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
45		-<br>
46		-<br>
	10	+Setzt man diesen Wert für k in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
47	47
48	48	{{formula}}
49	49	\begin{align*}
...	...	@@ -53,4 +53,4 @@
53	53	{{/formula}}
54	54
55	55	Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.
56		-{{/detail}}
	20	+)))