Wiki-Quellcode von Lösung Ebenenschar
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | 1. ((( Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung: | ||
| 2 | {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}} | ||
| 3 | Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist: | ||
| 4 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}} | ||
| 5 | Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel. | ||
| 6 | ))) | ||
| 7 | 1. (((Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein: | ||
| 8 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} | ||
| 9 | Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss. | ||
| 10 | Setzt man diesen Wert für k in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem | ||
| 11 | |||
| 12 | {{formula}} | ||
| 13 | \begin{align*} | ||
| 14 | &I: \ 2a &=3 \\ | ||
| 15 | &II:\ a-2 &=\frac{1}{2} | ||
| 16 | \end{align*} | ||
| 17 | {{/formula}} | ||
| 18 | |||
| 19 | Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein. | ||
| 20 | ))) |