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Lösung Geraden zeichnen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 17:25
Erwartungshorizont eingezeichneteGeraden.png
\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}
Erläuterung der Lösung Betrachtet werden Geraden g,g^\ast und h, für die gilt:
  • g verläuft durch A, g^\ast durch B und h durch P.
  • g und g^\ast schneiden sich in P.
  • Wird g an h gespiegelt, so entsteht g^\ast.
    eingezeichneteGeraden.png Da sich g und g^\ast in P schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist (A liegt auf g, B liegt auf g^\ast), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden.
    Da h die Gerade sein soll, an der g gespiegelt g^\ast ergibt, muss h eine Winkelhalbierende von g und g^\ast sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.)

    Mit dem Spiegelpunkt B^\prime, der entsteht, wenn B an h gespiegelt wird, ergeben B,P,B^\prime und ein weiterer Punkt auf h eine Raute, deren Diagonale auf h liegt. Addiert man die Vektoren \overrightarrow{PB} und \overrightarrow{PB^\prime}, erhält man also einen Vektor, mit dem man von P entlang h zu einem weiteren Punkt auf h kommt. Geradenmitspiegelpunkt.png Obwohl B^\prime nicht zur Verfügung steht, kann \overrightarrow{PB^\prime} mit Hilfe von \overrightarrow{AP} ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge \left|\overrightarrow{AP}\right| und \left|\overrightarrow{PB}\right| kann \overrightarrow{AP} jedoch derart verkürzt werden, sodass \overrightarrow{PB^\prime} entsteht. Dazu wird \overrightarrow{AP} zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von \overrightarrow{AP} gebildet:
    \frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}
    Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von \overrightarrow{PB} multipliziert. (\overrightarrow{PB} und \overrightarrow{PB^\prime} haben ja denselben Betrag.)
    \frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|
    Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von P entlang h zu einem weiteren Punkt auf h kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf h lautet:
    \overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}