Änderungen von Dokument Lösung Geraden zeichnen

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
• Anhänge (0 geändert, 0 hinzugefügt, 2 gelöscht)
  • Geradenmitspiegelpunkt.png
  • eingezeichneteGeraden.png

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2		-[[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
3		-<br>
4		-{{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}}
5		-{{/detail}}
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7		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8		-Betrachtet werden Geraden {{formula}}g,g^\ast{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}, für die gilt:
9		-<br>
10		-* {{formula}}g{{/formula}} verläuft durch {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g^\ast{{/formula}} durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}}.
11		-* {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} schneiden sich in {{formula}}P{{/formula}}.
12		-* Wird {{formula}}g{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt, so entsteht {{formula}}g^\ast{{/formula}}.
13		-<br>
14		-[[image:eingezeichneteGeraden.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
15		-Da sich {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} in {{formula}}P{{/formula}} schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist ({{formula}}A{{/formula}} liegt auf {{formula}}g{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g^\ast{{/formula}}), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden.
16		-<br>
17		-Da {{formula}}h{{/formula}} die Gerade sein soll, an der {{formula}}g{{/formula}} gespiegelt {{formula}}g^\ast{{/formula}} ergibt, muss {{formula}}h{{/formula}} eine Winkelhalbierende von {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}g^\ast{{/formula}} sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.)
18		-<br>
19		-<br>
20		-Mit dem Spiegelpunkt {{formula}}B^\prime{{/formula}}, der entsteht, wenn {{formula}}B{{/formula}} an {{formula}}h{{/formula}} gespiegelt wird, ergeben {{formula}}B,P,B^\prime{{/formula}} und ein weiterer Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} eine Raute, deren Diagonale auf {{formula}}h{{/formula}} liegt. Addiert man die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}}, erhält man also einen Vektor, mit dem man von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommt.
21		-[[image:Geradenmitspiegelpunkt.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
22		-Obwohl {{formula}}B^\prime{{/formula}} nicht zur Verfügung steht, kann {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} mit Hilfe von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge {{formula}}\left|\overrightarrow{AP}\right|{{/formula}} und {{formula}}\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}} kann {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} jedoch derart verkürzt werden, sodass {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} entsteht. Dazu wird {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von {{formula}}\overrightarrow{AP}{{/formula}} gebildet:
23		-<br>
24		-{{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}{{/formula}}
25		-<br>
26		-Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von {{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} multipliziert. ({{formula}}\overrightarrow{PB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{PB^\prime}{{/formula}} haben ja denselben Betrag.)
27		-<br>
28		-{{formula}}\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|{{/formula}}
29		-<br>
30		-Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von {{formula}}P{{/formula}} entlang {{formula}}h{{/formula}} zu einem weiteren Punkt auf {{formula}}h{{/formula}} kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf {{formula}}h{{/formula}} lautet:
31		-<br>
32		-{{formula}}\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}{{/formula}}
33	33	{{/detail}}
34	34
35	35

Geradenmitspiegelpunkt.png

Author

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1		-XWiki.akukin

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eingezeichneteGeraden.png

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