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Lösung Geradenschar

Version 2.1 von akukin am 2024/03/05 17:55
  1. Der Stützpunkt von g liegt in der Ebene, da 0+1+1=2.
    Für \lambda=1 erhält man einen weiteren Punkt auf g, nämlich \left(1\left|1\right|0\right). Auch dessen Koordinaten erfüllen die Ebenengleichung: 1+1+0=2.
    Folglich liegt die gesamte Gerade g in der Ebene.
  2. Windschief bedeutet, dass die Geraden weder einen Schnittpunkt haben, noch parallel zueinander liegen.
    Schnittpunkt:
    g\cap h_a:\ \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -a \\ 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)
    Aus der z-Komponente der Gleichung folgt, dass \lambda=0. Daraus wiederum folgt laut x-Komponente, dass \mu=0. Wenn jedoch beide Geradenparameter null sind, kann die y-Komponente (unabhängig von a) nicht -1 ergeben. Folglich ist die Gleichung falsch; es existiert kein Schnittpunkt.

Parallelität:
Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind (unabhängig von a) linear unabhängig, das heißt keine Vielfachen voneinander (nicht kollinear). Folglich sind die Geraden nicht parallel.