Änderungen von Dokument Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

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	1	+Jahrgangsstufen.BPE_16.WebHome

Inhalt

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1		-1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}AD_k{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
	1	+1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}\overline{AD_k}{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2	2	1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3	3	Der Flächeninhalt berechnet sich durch {{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4	4	1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
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18	18
19	19	{{formula}}
20	20	\begin{align}
21		-&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
22		-&\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &\qquad \qquad \mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
23		-&\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &\mid ()^2 \\
24		-&\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} & \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\
25		-&\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &\mid \sqrt\\
	21	+&&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
	22	+&\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &&\mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
	23	+&\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &&\mid ()^2 \\
	24	+&\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} && \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\
	25	+&\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &&\mid \sqrt\\
26	26	&\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
27	27	\end{align}
28	28	{{/formula}}
29	29
30	30
31		-5. Enthält {{formula}}L_k{{/formula}} den Punkt {{formula}}P(1|0|3){{/formula}}, so gilt {{formula}}L_4 = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}
	31	+5. Enthält {{formula}}L_k{{/formula}} den Punkt {{formula}}P(1|0|3){{/formula}}, so gilt {{formula}}L_k = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}
	32	+(alternativ ergibt sich für {{formula}}R(0|1|3){{/formula}} ebenso {{formula}}L_k = 0 + 1 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}).
32	32
33		-
34	34	6. Für {{formula}}4 \leq k < 6{{/formula}}: drei Eckpunkte
35	35	Für {{formula}}3<k<4{{/formula}}: fünf Eckpunkte
36	36	Für {{formula}}0<k\leq 3{{/formula}}: vier Eckpunkte
37	37
38	38
39		-7. {{formula}}Q_h{{/formula}} ist derjenige Punkt der Strecke {{formula}}\overline{MD_6}{{/formula}}, der die x,,3,,-Koordinate h hat.
	39	+7. {{formula}}Q_h{{/formula}} ist derjenige Punkt der Strecke {{formula}}\overline{MD_6}{{/formula}}, der die x,,3,,-Koordinate {{formula}}h{{/formula}} hat.
40	40	Die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \overrightarrow{OM} + \lambda \cdot \overrightarrow{MD_6} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right){{/formula}} dieser Strecke liefert für {{formula}}\lambda = \frac{h}{6}: x_1=x_2= 2- \frac{h}{3}{{/formula}}.
41	41
42	42	Damit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes {{formula}}Q_h(2- \frac{h}{3}|2- \frac{h}{3}|h){{/formula}}.