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Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/07 18:27
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1 1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}\overline{AD_k}{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2 1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3 Der Flächeninhalt berechnet sich durch{{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right| \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+k^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4 1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
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6 {{formula}}
7 \begin{align}
8 a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\
9 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\
10 \text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k}
11 \end{align}
12 {{/formula}}
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14 und damit {{formula}}L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}}.
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17 4. Für {{formula}}k>0{{/formula}} gilt:
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19 {{formula}}
20 \begin{align}
21 &&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
22 &\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &&\mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
23 &\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &&\mid ()^2 \\
24 &\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} && \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\
25 &\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &&\mid \sqrt\\
26 &\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
27 \end{align}
28 {{/formula}}
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31 5. Enthält {{formula}}L_k{{/formula}} den Punkt {{formula}}P(1|0|3){{/formula}}, so gilt {{formula}}L_k = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}
32 (alternativ ergibt sich für {{formula}}R(0|1|3){{/formula}} ebenso {{formula}}L_k = 0 + 1 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}).
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34 6. Für {{formula}}4 \leq k < 6{{/formula}}: drei Eckpunkte
35 Für {{formula}}3<k<4{{/formula}}: fünf Eckpunkte
36 Für {{formula}}0<k\leq 3{{/formula}}: vier Eckpunkte
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39 7. {{formula}}Q_h{{/formula}} ist derjenige Punkt der Strecke {{formula}}\overline{MD_6}{{/formula}}, der die x,,3,,-Koordinate {{formula}}h{{/formula}} hat.
40 Die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \overrightarrow{OM} + \lambda \cdot \overrightarrow{MD_6} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right){{/formula}} dieser Strecke liefert für {{formula}}\lambda = \frac{h}{6}: x_1=x_2= 2- \frac{h}{3}{{/formula}}.
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42 Damit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes {{formula}}Q_h(2- \frac{h}{3}|2- \frac{h}{3}|h){{/formula}}.