Änderungen von Dokument Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

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1		-Eingangsklasse.BPE_7.WebHome
	1	+Jahrgangsstufen.BPE_16.WebHome

Inhalt

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1		-1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}AD_k{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
	1	+1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}\overline{AD_k}{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2	2	1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3		-Der Flächeninhalt berechnet sich durch {{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
	3	+Der Flächeninhalt berechnet sich durch{{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right| \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+k^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4	4	1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
5	5
6	6	{{formula}}
7		-\begin{align}
	7	+\begin{align*}
8	8	a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\
9	9	0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\
10	10	\text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k}
11		-\end{align}
	11	+\end{align*}
12	12	{{/formula}}
13	13
14	14	und damit {{formula}}L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}}.
...	...	@@ -17,7 +17,7 @@
17	17	4. Für {{formula}}k>0{{/formula}} gilt:
18	18
19	19	{{formula}}
20		-\begin{align}
	20	+\begin{align*}
21	21	&&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
22	22	&\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &&\mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
23	23	&\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &&\mid ()^2 \\
...	...	@@ -24,7 +24,7 @@
24	24	&\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} && \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\
25	25	&\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &&\mid \sqrt\\
26	26	&\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
27		-\end{align}
	27	+\end{align*}
28	28	{{/formula}}
29	29
30	30