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Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt
Die Dreiecke \(ABD_k\) und \(ACD_k\) sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da \(|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4\) (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete \(AD_k\)). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
Da das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig mit der Basis \(\overline{BC}\) ist, stellt \(\overline{MD_k}\) eine Höhe dieses Dreiecks dar. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.\)
Da der Koordinatenursprung nicht in \(L_k\) liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form \(ax_1+bx_2+cx_3 = 4\) schreiben. Mit den Koordinaten von \(B, C\) und \(D_k\) ergibt sich \(a =1, b=1\) und \(c \cdot k = 4 \Leftrightarrow c = \frac{4}{k}\).
