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Version 4.1 von akukin am 2024/01/30 19:42
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1 1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}AD_k{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2 1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3 Der Flächeninhalt berechnet sich durch {{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4 1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
5
6 {{formula}}
7 \begin{align}
8 a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\
9 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\
10 \text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k}
11 \end{align}
12 {{/formula}}
13
14 und damit {{formula}}L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}}.
15 1. Für {{formula}}k>0{{/formula}} gilt:
16
17 {{formula}}
18 \begin{align}
19 &\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
20 \Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} \qquad \qquad \mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
21 \Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} \qquad \qquad \mid ()^2 \\
22 \Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} \\
23 \Leftrightarrow &k^2 &= 24 \\
24 \Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
25 \end{align}
26 {{/formula}}