Lösung Oktaeder

Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke \(\overline{AC}\) der gesuchten Kantenlänge entspricht.
\(A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right)\)
\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12\)

Also ist die Kantenlänge des Würfels 12.

Wir gehen bis zum Mittelpunkt \(M\) des Quadrats \(ABCD\), das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen \(\overline{AC}\), und von dort aus in Richtung des Normalenvektors \(\vec{n}\) von \(H\), da dieser senkrecht auf \(ABCD\) steht.

Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von \(M\) aus 6 Längeneinheiten in Richtung \(\vec{n}\) gehen.
Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene \(H\) in Koordinatenform:
\(H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\)
Der Betrag von \(\vec{n}\) ergibt: \(\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3\)
Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist und wir nur die Hälfte von \(M\) aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor \(2\vec{n}\), um von \(M\) zum gesuchten Punkt \(P_1\) zu gelangen:

Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also \(P_1\left(3\left|0\right|9\right)\).
Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) \(P_2\) erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert:

Der zweite Punkt lautet also \(P_2\left(-5\left|-4\right|1\right)\).

Hinweis: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt.