Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,12 +1,9 @@
1	1	(%class=abc%)
2		-1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
3		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
	2	+1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
4	4
5		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
6		-
7	7	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
8	8
9		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
	6	+Dabei erhalten wir das LGS
10	10	{{formula}}
11	11	\begin{align*}
12	12	\text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
...	...	@@ -19,6 +19,50 @@
19	19	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
20	20	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
21	21
22		-Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen:
	19	+Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
23	23
24	24	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
	22	+1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	23	+
	24	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
	25	+
	26	+{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
	27	+
	28	+LGS:
	29	+{{formula}}
	30	+\begin{align*}
	31	+\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
	32	+\text{II}: \ -2+0s&=0\\
	33	+\text{III}:\qquad 1+s&=6-t
	34	+\end{align*}
	35	+{{/formula}}
	36	+
	37	+Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
	38	+
	39	+
	40	+Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
	41	+
	42	+)))
	43	+1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	44	+
	45	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
	46	+
	47	+{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
	48	+
	49	+LGS:
	50	+{{formula}}
	51	+\begin{align*}
	52	+\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
	53	+\text{II}: \ 0+2s&=0\\
	54	+\text{III}:\ 2+0s&=6-t
	55	+\end{align*}
	56	+{{/formula}}
	57	+
	58	+Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
	59	+Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
	60	+
	61	+Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
	62	+{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
	63	+
	64	+
	65	+Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))