Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,13 +1,9 @@
1	1	(%class=abc%)
2		-1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
3		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
	2	+1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
4	4
5		-
6		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
7		-
8	8	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
9	9
10		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
	6	+Dabei erhalten wir das LGS
11	11	{{formula}}
12	12	\begin{align*}
13	13	\text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
...	...	@@ -20,17 +20,16 @@
20	20	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
21	21	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
22	22
23		-Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen (zum Beispiel in {{formula}}g_1{{/formula}}):
	19	+Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
24	24
25	25	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
26	26	1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
27		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind Vielfache voneinander, da {{formula}}(-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}. Somit sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) und die Geraden parallel.
28	28
29		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich, um zu prüfen, ob die Geraden identisch sind oder echt parallel verlaufen:
	24	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
30	30
31	31	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
32	32
33		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
	28	+LGS:
34	34	{{formula}}
35	35	\begin{align*}
36	36	\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
...	...	@@ -39,17 +39,19 @@
39	39	\end{align*}
40	40	{{/formula}}
41	41
42		-Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich der Widerspruch {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
	37	+Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
43	43
44		-Da das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.)))
	39	+
	40	+Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
	41	+
	42	+)))
45	45	1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
46		-Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvektoren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
47	47
48		-Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zueinander sind oder sich schneiden:
	45	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
49	49
50	50	{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
51	51
52		-Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
	49	+LGS:
53	53	{{formula}}
54	54	\begin{align*}
55	55	\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
...	...	@@ -61,7 +61,8 @@
61	61	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
62	62	Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
63	63
64		-Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung:
	61	+Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
65	65	{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
66	66
67		-Dies ist ein Widerspruch. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief zueinander.)))
	64	+
	65	+Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))