Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,9 +1,12 @@
1	1	(%class=abc%)
2		-1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
	2	+1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
	3	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
3	3
	5	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
	6	+
4	4	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
5	5
6		-Dabei erhalten wir das LGS
	9	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
7	7	{{formula}}
8	8	\begin{align*}
9	9	\text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
...	...	@@ -16,50 +16,6 @@
16	16	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
17	17	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
18	18
19		-Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
	22	+Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen:
20	20
21	21	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
22		-1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
23		-
24		-Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
25		-
26		-{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
27		-
28		-LGS:
29		-{{formula}}
30		-\begin{align*}
31		-\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
32		-\text{II}: \ -2+0s&=0\\
33		-\text{III}:\qquad 1+s&=6-t
34		-\end{align*}
35		-{{/formula}}
36		-
37		-Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
38		-
39		-
40		-Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
41		-
42		-)))
43		-1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
44		-
45		-Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
46		-
47		-{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
48		-
49		-LGS:
50		-{{formula}}
51		-\begin{align*}
52		-\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
53		-\text{II}: \ 0+2s&=0\\
54		-\text{III}:\ 2+0s&=6-t
55		-\end{align*}
56		-{{/formula}}
57		-
58		-Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
59		-Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
60		-
61		-Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
62		-{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
63		-
64		-
65		-Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))