Änderungen von Dokument Lösung Drei Geraden

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,9 +1,13 @@
1	1	(%class=abc%)
2		-1. (((Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:
	2	+1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}:
	3	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
3	3
	5	+
	6	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
	7	+
4	4	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
5	5
6		-Dabei erhalten wir das LGS
	10	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
7	7	{{formula}}
8	8	\begin{align*}
9	9	\text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\
...	...	@@ -16,16 +16,17 @@
16	16	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1{{/formula}}.
17	17	Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: {{formula}}4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1{{/formula}}.
18	18
19		-Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel {{formula}}s=1{{/formula}} in {{formula}}g_1{{/formula}} (alternativ {{formula}}t=-1{{/formula}} in {{formula}}g_2{{/formula}}):
	23	+Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von {{formula}}s=1{{/formula}} und {{formula}}t=-1{{/formula}} in eine der beiden Geradengleichungen (zum Beispiel in {{formula}}g_1{{/formula}}):
20	20
21	21	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1){{/formula}}.)))
22	22	1. ((({{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	27	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind Vielfache voneinander, da {{formula}}(-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}. Somit sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) und die Geraden parallel.
23	23
24		-Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
	29	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich, um zu prüfen, ob die Geraden identisch sind oder echt parallel verlaufen:
25	25
26	26	{{formula}}\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}{{/formula}}
27	27
28		-LGS:
	33	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
29	29	{{formula}}
30	30	\begin{align*}
31	31	\text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\
...	...	@@ -34,19 +34,17 @@
34	34	\end{align*}
35	35	{{/formula}}
36	36
37		-Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich die falsche Aussage {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
	42	+Bereits aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ergibt sich der Widerspruch {{formula}}-2 = 0{{/formula}}.
38	38
39		-
40		-Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} Vielfache voneinander sind {{formula}}\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right){{/formula}}, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.
41		-
42		-)))
	44	+Da das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die Geraden {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} echt parallel.)))
43	43	1. ((({{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}:
	46	+Die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvektoren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.
44	44
45		-Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
	48	+Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zueinander sind oder sich schneiden:
46	46
47	47	{{formula}}\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}
48	48
49		-LGS:
	52	+Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
50	50	{{formula}}
51	51	\begin{align*}
52	52	\text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\
...	...	@@ -58,8 +58,7 @@
58	58	Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0{{/formula}}.
59	59	Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}} 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4{{/formula}}.
60	60
61		-Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
	64	+Einsetzen von {{formula}}s=0{{/formula}} und {{formula}}t=4{{/formula}} in die erste Gleichung:
62	62	{{formula}}6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12{{/formula}}.
63	63
64		-
65		-Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief.)))
	67	+Dies ist ein Widerspruch. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}} windschief zueinander.)))