Änderungen von Dokument Lösung Kugelbehälter

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,11 +1,11 @@
1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2		-C: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
	2	+{{formula}}C{{/formula}}: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
3	3	<br>
4		-S: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
	4	+{{formula}}S{{/formula}}: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
5	5	<br>
6	6	Aus
7	7	<br>
8		-{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5},\ \ P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3},\ \ P_{\bar{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
	8	+{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5},\ \ P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3},\ \ P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
9	9	<br>
10	10	folgt
11	11	<br>
...	...	@@ -18,22 +18,26 @@
18	18
19	19
20	20	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
21		-C: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
	21	+{{formula}}C{{/formula}}: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
22	22	<br>
23		-S: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
24		-<br>
	23	+<p>
	24	+{{formula}}S{{/formula}}: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
	25	+</p>
25	25	Die Wahrscheinlichkeit, dass der Behälter C gewählt wurde, wenn man schon weiß, dass eine schwarze Kugel gezogen wurde, ist laut Aufgabenstellung:
	27	+
26	26	{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}{{/formula}}
27	27	<br>
28	28	Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn der Behälter C gewählt wurde, ist:
	31	+<br>
29	29	{{formula}}P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3}{{/formula}}
30	30	<br>
31	31	denn im Behälter C gibt es 3 schwarze Kugeln und {{formula}}w{{/formula}} weiße Kugeln, also insgesamt {{formula}}w+3{{/formula}} Kugeln.
32	32	<br>
33	33	Da sich sowohl in Behälter A als auch in Behälter B dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln befinden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel, wenn Behälter A oder B gewählt wurde (das heißt wenn „Nicht C“ {{formula}}\overline{C}{{/formula}} gewählt wurde):
34		-{{formula}}P_{\bar{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
35		-<br>
36		-<br>
	37	+{{formula}}P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
	38	+
	39	+<p style="line-height: 115%"> </p>
	40	+
37	37	Generell gilt für zwei Ereignisse:
38	38	{{formula}}P\left(S\right)\cdot P_S\left(C\right)=P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right){{/formula}}
39	39	<br>
...	...	@@ -40,13 +40,15 @@
40	40	(Beides ergibt {{formula}}P\left(C\cap S\right){{/formula}}; der Baum kann ja einmal mit {{formula}}C{{/formula}} und einmal mit {{formula}}S{{/formula}} begonnen werden.)
41	41	<br>
42	42	Bringt man nun {{formula}}P\left(S\right){{/formula}} auf die rechte Seite
	47	+<br>
43	43	{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)}{P\left(S\right)}{{/formula}}
44		-und ersetzt {{formula}}P\left(S\right){{/formula}} durch {{formula}}P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)+P\left(\bar{C}\right)\cdot P_{\bar{C}}\left(S\right){{/formula}} (denn diese zwei Pfade im Baumdiagramm ergeben tatsächlich {{formula}}P\left(S\right)){{/formula}}, dann erhält man
45	45	<br>
46		-{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
	50	+und ersetzt {{formula}}P\left(S\right){{/formula}} durch {{formula}}P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)+P\left(\overline{C}\right)\cdot P_{\overline{C}}\left(S\right){{/formula}} (denn diese zwei Pfade im Baumdiagramm ergeben tatsächlich {{formula}}P\left(S\right)){{/formula}}, dann erhält man
47	47	<br>
	52	+{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
	53	+<p>
48	48	was dem Term aus der Aufgabenstellung entspricht.
49		-<br>
	55	+</p>
50	50	Zusätzlich ist gegeben, dass diese Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} annimmt. Setzen wir den obigen Term gleich {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}}, dann können wir nach der gesuchten Anzahl weißer Kugeln in Behälter C auflösen:
51	51	<br>
52	52	{{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21{{/formula}}