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Wiki-Quellcode von Lösung Kugelbehälter

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/21 14:23
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 {{formula}}C{{/formula}}: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
3 <br>
4 {{formula}}S{{/formula}}: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
5 <br>
6 Aus
7 <br>
8 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5},\ \ P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3},\ \ P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
9 <br>
10 folgt
11 <br>
12 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
13 <br>
14 <br>
15 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21{{/formula}}
16
17 {{/detail}}
18
19
20 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
21 {{formula}}C{{/formula}}: „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“
22 <br>
23 <p>
24 {{formula}}S{{/formula}}: „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
25 </p>
26 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Behälter C gewählt wurde, wenn man schon weiß, dass eine schwarze Kugel gezogen wurde, ist laut Aufgabenstellung:
27
28 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}{{/formula}}
29 <br>
30 Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn der Behälter C gewählt wurde, ist:
31 <br>
32 {{formula}}P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3}{{/formula}}
33 <br>
34 denn im Behälter C gibt es 3 schwarze Kugeln und {{formula}}w{{/formula}} weiße Kugeln, also insgesamt {{formula}}w+3{{/formula}} Kugeln.
35 <br>
36 Da sich sowohl in Behälter A als auch in Behälter B dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln befinden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel, wenn Behälter A oder B gewählt wurde (das heißt wenn „Nicht C“ {{formula}}\overline{C}{{/formula}} gewählt wurde):
37 {{formula}}P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
38
39 <p style="line-height: 115%"> </p>
40
41 Generell gilt für zwei Ereignisse:
42 {{formula}}P\left(S\right)\cdot P_S\left(C\right)=P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right){{/formula}}
43 <br>
44 (Beides ergibt {{formula}}P\left(C\cap S\right){{/formula}}; der Baum kann ja einmal mit {{formula}}C{{/formula}} und einmal mit {{formula}}S{{/formula}} begonnen werden.)
45 <br>
46 Bringt man nun {{formula}}P\left(S\right){{/formula}} auf die rechte Seite
47 <br>
48 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)}{P\left(S\right)}{{/formula}}
49 <br>
50 und ersetzt {{formula}}P\left(S\right){{/formula}} durch {{formula}}P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)+P\left(\overline{C}\right)\cdot P_{\overline{C}}\left(S\right){{/formula}} (denn diese zwei Pfade im Baumdiagramm ergeben tatsächlich {{formula}}P\left(S\right)){{/formula}}, dann erhält man
51 <br>
52 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
53 <p>
54 was dem Term aus der Aufgabenstellung entspricht.
55 </p>
56 Zusätzlich ist gegeben, dass diese Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} annimmt. Setzen wir den obigen Term gleich {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}}, dann können wir nach der gesuchten Anzahl weißer Kugeln in Behälter C auflösen:
57 <br>
58 {{formula}}P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21{{/formula}}
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60 {{/detail}}