Lösung Kombinatorik

Das Problem gleich mit 5 Würfeln zu beginnen ist anspruchsvoll. Es bietet sich daher an, zunächst einen Würfel zu betrachten und dann zu zwei, dann drei, dann vier und zuletzt fünf Würfeln überzugehen.

Falls dir die Formel „Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“ bekannt ist, ist die Aufgabe durch  = 2002  schnell gelöst. Die Formel steht jedoch nicht in der Merkhilfe.

Für einen Würfel löst sich das Problem einfach: Jede Zahl ergibt ein Würfelbild: N = 10.
Für zwei Würfel muss unterschieden werden:

1. Es gibt zehn unterschiedliche Päsche: 10 Möglichkeiten
    Bei unterschiedlichen Augenzahlen gibt es  = 45 Möglichkeiten.     Es folgt: N = 55

Bei drei Würfeln wird die Unterscheidung etwas schwieriger:

1. Alle drei Würfel haben dieselbe Augenzahl: 10 Möglichkeiten
2. Genau zwei Würfel haben dieselbe Augenzahl und der dritte eine andere: 10⋅9 = 90 Möglichkeiten
3. Alle drei Würfel haben unterschiedliche Augenzahlen: =120 Möglichkeiten.      Es folgt: N = 120

Vier Würfel:

1. Alle Würfel haben dieselbe Augenzahl: 10 Möglichkeiten
2. Genau dreimal dieselbe Augenzahl und einmal eine andere:  10⋅9 = 90 Möglichkeiten
3. Jeweils zwei Würfel haben dieselbe Augenzahl:  = 45 Möglichkeiten
4. Es gibt einen Pasch und zwei weitere Augenzahlen:  = 360 Möglichkeiten
5. Alle vier Würfel haben unterschiedliche Augenzahlen: = 210 Möglichkeiten    Es folgt: N = 715

Fünf Würfel:

1. 5x gleiche Augenzahl: 10 Möglichkeiten
2. 4x gleich, 1x anders: 10⋅9 = 90 Möglichkeiten
3. 3x gleich, 2x gleiche andere: 10⋅9 = 90 Möglichkeiten
4. 3x gleich, 1x andere, 1x noch andere:   = 360 Möglichkeiten
5. 2x Zahl x, 2x andere Zahl y , 1x dritte Zahl:  = 360 Möglichkeiten
6. 2x gleiche Zahl und 3 weitere Zahlen:   = 840 Möglichkeiten
   Fünf unterschiedliche Zahlen:   = 252 Möglichkeiten     Es folgt: N = 2002