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Lösung Gedachte Zahlen

Version 1.1 von Holger Engels am 2023/10/30 12:00
Information

Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form  \(x^4+2x^2+1=0\) mit Hilfe Substitution \( (x^2=z)\) auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen \( z^2+2z+1=0\), welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.

Das Produkt zweier gedachter natürlicher Zahlen ist 9897914.
Der Quotient der beiden Zahlen ist 6,5.
Bestimme die gesuchten Zahlen.

Rückführung auf zwei Gleichungen

\[\begin{align*} 1) &\quad x \cdot y &=&\: 9897914\\ 2) &\quad \frac{x}{y} &=&\: 6,5 \end{align*}\]

Umformen von 2) führt auf: \(x=6,5y\).
Einsetzen in 1) ergibt: \(6,5y \cdot y = 9897914\).

\[\begin{align*} \Rightarrow &\quad y^2 = 1522756 \Rightarrow y = \pm 1234 \Rightarrow y = 1234 \\ \Rightarrow &\quad x = 6,5 \cdot 1234 = 8021 \end{align*}\]