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Wiki-Quellcode von Lösung Gedachte Zahlen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/10/30 13:00
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1 {{info}}
2 Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form {{formula}}x^4+2x^2+1=0{{/formula}} mit Hilfe Substitution {{formula}} (x^2=z){{/formula}} auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen {{formula}} z^2+2z+1=0{{/formula}}, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.
3 {{/info}}
4
5 Das Produkt zweier gedachter natürlicher Zahlen ist 9897914.
6 Der Quotient der beiden Zahlen ist 6,5.
7 Bestimme die gesuchten Zahlen.
8
9 Rückführung auf zwei Gleichungen
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11 {{formula}}
12 \begin{align*}
13 1) &\quad x \cdot y &=&\: 9897914\\
14 2) &\quad \frac{x}{y} &=&\: 6,5
15 \end{align*}
16 {{/formula}}
17
18 Umformen von 2) führt auf: {{formula}}x=6,5y{{/formula}}.
19 Einsetzen in 1) ergibt: {{formula}}6,5y \cdot y = 9897914{{/formula}}.
20
21 {{formula}}
22 \begin{align*}
23 \Rightarrow &\quad y^2 = 1522756 \Rightarrow y = \pm 1234 \Rightarrow y = 1234 \\
24 \Rightarrow &\quad x = 6,5 \cdot 1234 = 8021
25 \end{align*}
26 {{/formula}}