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Version 5.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 12:58
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((Betrachte die drei Fälle einzeln.
3 * {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^2=16{{/formula}}; das sind {{formula}}x=4{{/formula}} oder {{formula}}x=-4{{/formula}}. Also: {{formula}}16^{\frac{1}{2}} \in \{4,-4\}{{/formula}}
4
5 * {{formula}}(8^{\frac{1}{3}})^3 = 8{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^3=8{{/formula}}; das ist {{formula}}x=2{{/formula}} (eindeutig). Also: {{formula}}8^{\frac{1}{3}}=2{{/formula}}
6
7 * {{formula}}(16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}: Gesucht sind alle Zahlen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x^4=16{{/formula}}; das sind {{formula}}x=2{{/formula}} oder {{formula}}x=-2{{/formula}}. Also: {{formula}}16^{\frac{1}{4}} \in \{2,-2\}{{/formula}}
8 )))
9 1. (((Vergleich:
10 - Bei geradem Exponenten ({{formula}}2,4{{/formula}}) gibt es **zwei Lösungen** (positive und negative Zahl).
11 - Bei ungeradem Exponenten ({{formula}}3{{/formula}}) gibt es **genau eine Lösung**.
12
13 ⇒ Mehrere Zahlen sind möglich bei **geradem Exponenten**, genau eine Zahl bei **ungeradem Exponenten**.
14 )))
15 1. (((
16 Festlegung:
17 Durch die Potenzschreibweise {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} wird die **positive (nichtnegative) Lösung** bezeichnet.
18
19 Also:
20 {{formula}}16^{\frac{1}{2}}=4,\quad 8^{\frac{1}{3}}=2,\quad 16^{\frac{1}{4}}=2{{/formula}}
21
22 Begründung:
23 Diese Festlegung macht die Zuordnung eindeutig und stimmt mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegative Zahl überein.
24 )))