BPE 12.3 Potenzfunktion

1  Definitions- und Wertemenge aus Gleichung und Graph  (10 min) 𝕃

2  Erkunden - Gerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind zwei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^2\) und \(h(x)=x^{-2}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von \([-3; +3]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

3  Erkunden - Ungerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^3\) und \(h(x)=x^{-3}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von \([-8; +8]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

4  Venn - Eigenschaften  (8 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. D eine passende Funktion \(f(x)=x^n\) an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

5  Entscheiden – Potenzfunktionen  (8 min) 𝕃

Gegeben ist das Schaubild einer Potenzfunktion mit folgenden Eigenschaften:

- Das Schaubild ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die Funktion ist für \(x=0\) nicht definiert.
- Alle Funktionswerte sind positiv.

Entscheide begründet, ob die nachfolgenden Funktionsterme zu dem beschriebenen Schaubild passen können.

1. \(f(x)=x^2\)
2. \(f(x)=x^4\)
3. \(f(x)=x^{-1}\)
4. \(f(x)=x^{-2}\)

6  Kritisch Stellung nehmen  (4 min)

Ein Schüler behauptet:
  „Je größer der Exponent einer Potenzfunktion ist, desto steiler ist der Graph überall.“
 
Nimm kritisch Stellung zu dieser Aussage.
Tipp: Du kannst bspw. auch mithilfe eines konkreten Beispiels einer Potenzfunktion Stellung nehmen.

7  Prozesse Schaubildern zuordnen  (8 min) 𝕃

Ordne jedem Prozess (I bis IV) das zugehörige Schaubild oder den zugehörigen Funktionsterm zu.
Begründe jede deiner Zuordnung mathematisch. Gehe dabei auf folgende Punkte ein:

• Wie wächst/fällt der Graph, wenn x größer wird? 
• Ist der Graph symmetrisch? 
• Was passiert bei kleinen x-Werten, besonders in der Nähe von x = 0? 
• Gibt es "verbotene" Werte oder eine Stelle, an der der Graph nicht definiert ist?

Prozess I – Gaming-Display Die Fläche eines quadratischen Displays hängt von der Seitenlänge ab.	\(f(x) = x^2\)
Prozess II – E-Scooter Die Belastung des Motors steigt mit der Leistungseinstellung: bei kleinen Werten wenig, bei großen Werten sehr stark.
Prozess III – WLAN-Signal Mit wachsendem Abstand zum Router wird das Signal schwächer, verschwindet aber nie ganz.
Prozess IV – Social Media Der Rechenaufwand zur Auswertung von Interaktionen wächst extrem schnell.	\(k(x) = x^{-1}\)

8  Untersuchen – Annäherung an Achsen  (10 min)

Zwei Potenzfunktionen \(f(x)=x^k\) und \(g(x)=x^m\) mit negativen ganzzahligen Exponenten haben Schaubilder, die sich der x-Achse annähern.

1. Entwickle ein Kriterium, mit dem man entscheiden kann, welcher der beiden Graphen für große \(|x|\) schneller gegen die x-Achse fällt. Erkläre deine Überlegung.
2. Überprüfe, ob dieses Kriterium auch dafür geeignet ist zu entscheiden, welcher der beiden Graphen sich für \(x\to 0\) schneller der y-Achse annähert. Begründe deine Entscheidung.