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BPE 1.1 Rechnen mit Termen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/08/11 19:10
Inhalt

K5 Ich kann die Rechengesetze bei Termen mit Variablen anwenden.
K3 Ich kann Sachzusammenhänge als Terme deuten.
K5 Ich kann den Wert von Termen durch das Einsetzen von Zahlen berechnen.

Begründe, ob es sich um eine Summe, ein Produkt oder eine Potenz handelt!

  1. \( 2 \cdot a + 3 \)
  2. \( 2 \cdot (a + 3) \)
  3. \( 2 \cdot a^3 \)
  4. \( 2^{a + 3} \)
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Links   KMap Termbaum

Bestimme einen Term, der den Mittelwert einer Zahl, ihrem Doppelten und ihrer Hälfte berechnet!

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Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.

  1. \( 3a - 2 \cdot (a - 5b) \)
  2. \( (2a - 4b):2 + 3a + b \)
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Gib die richtige Vereinfachung des Terms an:
\( (2^3)^2 \)

  ☐ \( 2^5 \)
  ☐ \( 2^6 \)
  ☐ \( 2^9 \)

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Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme:

  1. \( 6b^3 : 3b^3 \)
  2. \( \frac{x^m}{x^{m-3}} \)
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Potenzen

Gib an, welche Vereinfachung richtig ist.
\( 2x^2 \cdot x^3 \)

  ☐ \( 2x^5 \)
  ☐ \( 2x^6 \)
  ☐ kann man nicht vereinfachen, weil die Exponenten unterschiedlich sind

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Nenne die Potenzschreibweise von \( \frac{1}{8} \).

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Zusammenfassen

Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.

a) \( -(a-b) + 1 -(a-b) + 2a - 2b \)

b) \( \frac{2}{3}a + \frac{b}{6} - \frac{a}{3} + \frac{-b}{3} \)

c) \( a + 2ab + b -2a - ab \)

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Ausmultiplizieren

Gib, die ausmultiplizierte und vereinfachte Form der folgenden Terme an.

a) \( (a+b)(a-b) \)

b) \( -(a + 2) (b - 2) \)

c) \( \frac{2}{3} (9a-6b) \)

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Ausklammern

Gib die faktorisierte Form der Terme an.

a) \( a^2 - 5a = \)

b) \( 9a^3 - 2a = \)

c) \( -a^4 + 3a^2 = \)

d) \( \frac{1}{2}a^4 - a = \)

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Binome

Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln!

a) \( ( a+ 3 )^{2}= \)

b) \( -(a + 2) (a - 2)= \)

c) \( ( 2a- 4 )^{2}= \)

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Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.

  1. \(12\cdot 17-8 \cdot 50-28\)
  2. \((12+17)-8\cdot 50-28\)
  3. \(12\cdot 17-8 \cdot (50-28)\)
  4. \((12+17)-8-(50-28)\)

#mathebrücke

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Richard, Jürgen und Hans-Willi organisieren zusammen eine große Party. Sie bestellen bei einem Pizzaservice 18 Pizzen. Nach der Party zählen die drei Freunde, dass 11 Pizzaschachteln leer, 5 noch halb voll und 2 Schachteln ganz voll sind. Da alle auch gerne eine kalte Pizza essen, möchten sie die Pizzaschachteln so untereinander aufteilen, dass jeder gleich viel bekommt. Ermittle, wie viele Pizzaschachteln jeder dann bekommt.

#mathebrücke

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Bestimme einen Rechenausdruck:
Multipliziere die Differenz der Zahlen 31 und 12 mit 20, addiere dazu das Produkt der Zahlen 35 und 7 und subtrahiere vom Ergebnis die Differenz der Zahlen 45 und 20.

#mathebrücke

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Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist \(\frac{19}{24}\). Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.

#mathebrücke

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Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:

Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x.
 Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm.		\((x+5) + x = 60\)
x ist das Alter von Kurt. Hanne ist 5 Jahre älter.  Zusammen sind sie 60 Jahre alt.\( x \cdot \frac{3}{100}=60\)
Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60€.
Der Zinssatz beträgt 3%.		\((x+12)(x-5) = 60\)
Eine Seite eines Quadrates wird um 12cm  verlängert, die andere um 5cm verkürzt.
Der  Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60cm².		\( x \cdot \frac{3}{100\cdot 12}=60\)
Auf einer 60kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12kg.\((x-5) + x = 60\)
Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3%  Zinsen. Jeden Monat sind dies 60€.\((x+5)x = 60\)
Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m
unterscheiden, hat eine Fläche von 60m².		\(60 - 5x = 12\)
Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€.
An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen.
Am Schluss verbleiben ihm 12€.		 \(5x + 12 =60\)

#mathebrücke

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Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.

  1. \(a-(b-c)=a-b-c\)
  2. \(p\cdot (q\cdot r)= (p\cdot q)\cdot (p\cdot r)\)
  3. \((a+b)^2=a^2+b^2\)
  4. \(x^2\cdot y^3=(x\cdot y)^5\)
  5. \((-a)^2=-a^2\)
  6. \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
  7. \(\sqrt{p^2+q^2}=p+q\)
  8. \(\sqrt{x^2}=x\)

Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?

#mathebrücke

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Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld 
1) \(3x^2 - 2x\)  a) \(x(3x-2)\)
 b) \(3x\)
 c) \(3x(x-2)\) 		 
2) \(2x^2 - 8\)  a) \(2(x+2)(x-2)\)
 b) \(2(x-2)^2\)
 c) \(2x(x-2)\) 		 
3) \(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\)  a) \(x - 3\)
 b) \(x\)
 c) \(x + 3\) 		 
4) \(x^3 + 2x^2\)  a) \(2x^5\)
 b) \(2x^6\)
 c) \(x^2(x+2)\) 		 
5) \(5x^2 - 10x + 5\)  a) \(5(x+1)^2\)
 b) \(5(x-1)^2\)
 c) \(5(x-1)(x+1)\) 		 

#mathebrücke

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Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld 
1) \(x^2 - 4\)  a) \((x + 2)(x + 2)\)
 b) \((x - 4)(x + 4)\)
 c) \((x + 2)(x - 2)\) 		 
2) \((x - 2)^2\)  a) \(x^2 - 4x + 4\)
 b) \(x^2 + 4x + 4\)
 c) \(x^2 - 2x + 4\) 		 
3) \((x - 3)(x + 3)\)  a) \(x^2 + 9\)
 b) \(x^2 - 9\)
 c) \((x - 3)^2\) 		 
4) \((x + 1)^2\)  a) \(x^2 + 2x + 2\)
 b) \(x^2 + 1\)
 c) \((x + 1)(x + 1)\) 		 
5) \((2x - 4)^2\)  a) \(2x^2 - 8x + 16\)
 b) \((2x - 4)(2x + 4)\)
 c) \(4x^2 - 16x + 16\) 		 
6) \(16x^2 - 25\)  a) \((8x - 5)(8x + 5)\)
 b) \((4x - 5)(4x - 5)\)
 c) \((4x + 5)(4x - 5)\) 		 
7) \((0,\!5x - 1)(0,\!5x - 1)\)  a) \(0,\!25x^2 - 1\)
 b) \(0,\!25x^2 - x + 1\)
 c) \((0,\!5x + 1)^2\) 

#mathebrücke

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Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term Auswahlmöglichkeiten Lösungsfeld
1) \(2x^2 + x^2\)  a) \(3x^4\)
 b) \(2x^4\)
 c) \(3x^2\) 		 
2) \((-1)^2 + (5x)^0 + 3^0\)  a) \(6x+4\)
 b) \(1\)
 c) \(3\) 		 
3) \(3^{2x} \cdot 3^x\)  a) \(3^{2x^2}\)
 b) \(3^{3x}\)
 c) \(9^{2x^2}\) 		 
4) \((5b^2)^8\)  a) \(5b^6\)
 b) \(125b^6\)
 c) \(125b^5\) 		 
5) \(5 \cdot 3^x - 3^x\)  a) \(4 \cdot 3^x\)
 b) \(12^x\)
 c) \(5\) 		 
6) \(ab^2 : ab\)  a) \(b^3\)
 b) \(b\)
 c) \(a^2b^2\) 		 
7) \(2x^2y + 3xy^2 + 5xy^2 - 7x^2y\)  a) \(3x^2y^3\)
 b) \(8xy^2 - 5x^2y\)
 c) \(3x^2y^2\) 		 
8) \(10^x : 10^x\)  a) \(10^{2x}\)
 b) \(1\)
 c) \(10\) 

#mathebrücke

AFB   IKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.

a) \((x + \square)(x - \square) = x^2 - 25\)  \(\square=\)    
b) \((2x - \square)^2 = 4x^2 - \Delta + 9\) \(\square=\)    \(\Delta=\)    
c) \((x - \square)^2 = x^2 - 4xy + \Delta\) \(\square=\)    \(\Delta=\)    
d) \((2z - \square)^2 =\heartsuit -8z + \Delta\)  \(\square=\)    \(\Delta=\)    \(\heartsuit=\)    
e) \((4x - \square)(4x + \square) = \Delta - 49y^2\)  \(\square=\)    \(\Delta=\)    

#mathebrücke

AFB   IIKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden. 

  1. Löse die Klammer auf:
    1. \((5ab)^3\)
    2. \(5a^3b^3\)
    3. \(125a^3b\)
    4. \(125a^3b^3\)
    5. \(15a^3b^3\)
    6. \(5ab^3\)
  2. Vereinfache soweit wie möglich:
    1. \(v^6:v^{n-6}\)
    2. \(v^{-n}\)
    3. \(v^{n+12}\)
    4. \(v^{-1+n}\)
    5. \(v^{12-n}\)
    6. \(v^{n-12}\)

#mathebrücke

AFB   IKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Tim überlegt: Wenn \(2^{-1}\) dasselbe ist wie  \(\frac{1}{2}\), dann ist doch \(3^{-2}\) dasselbe wie \(\frac{2}{3}\).
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach \(10^{-2}\)?
Hat Tim Recht?

#mathebrücke

AFB   IIIKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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  1. Fasse zusammen:
    1. \(3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3\)
    2. \(2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x\)
    3. \(2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1\)
  2. Wende die Potenzgesetze an:
    1. \(a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5\)
    2. \(-10a^2 + 2a(a+2)\)
    3. \(y^3 \cdot (-x)^3\)
    4. \(\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4\)
    5. \(\frac{b^{n+2}}{b^n}\)
    6. \(\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}\)
    7. \(\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}\)
    8. \(\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}\)
    9. \((-2y)^3\)
    10. \((5a^3b^2)^3\)

#mathebrücke

AFB   IKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
1.a) \(2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5)\)
1.b) \(x - (x + 3) - 4(-x + 1)\)

2.a) \(6a - 2(7b - (4a + 3b)) + 2((2a - b) - 7a)\)
2.b) \(2x + 3(4 - (2x + 1) + 3x)\)

Multipliziere aus und vereinfache:
3.a) \((3a + b)(a - 5b)\)
3.b) \((4x - 3)(-x + \frac{1}{3})\)

4.a) \((2x + y)^2\)
4.b) \((x - 3y)^2\)
4.c) \((x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
4.d) \((3 - x)^2 - (x + 1)^2 + 2(x - 1)(x + 1)\)

Klammere aus („Faktorisiere“):
5.a) \(12ax^2 - 8ax\)
5.b) \(3x^2 - 12\)
5.c) \(\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}\)

#mathebrücke

AFB   IKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

Dividiere 30 durch \(\frac{1}{2}\) und addiere zum Ergebnis 15. Was erhältst du?

☐ 30, weil \(15 + 15 = 30\)
☐ 75, weil \(15 + 60 = 75\)
☐ 22,5, weil \(45 : 2 = 22,5\)
☐ 75, weil \(\frac{1}{2}\) 60mal in die 30 passt und \(60 + 15 = 75\)

#mathebrücke

AFB   IKompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I0001111
II010341
III000000
Bearbeitungszeit gesamt: 45 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst