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Änderungen von Dokument BPE 1.1 Rechnen mit Termen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/10/04 15:00
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -24,6 +24,37 @@
24 24  1. {{formula}} (2a - 4b):2 + 3a + b {{/formula}}
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 +{{aufgabe id="Vereinfachung Potenz von Potenz" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
28 +Gib die richtige Vereinfachung des Terms an:
29 +{{formula}} (2^3)^2 {{/formula}}
30 +
31 + ☐ {{formula}} 2^5 {{/formula}}
32 + ☐ {{formula}} 2^6 {{/formula}}
33 + ☐ {{formula}} 2^9 {{/formula}}
34 +{{/aufgabe}}
35 +
36 +{{aufgabe id="Vereinfachen Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="3" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
37 +Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme:
38 +(%class="abc"%)
39 +1. {{formula}} 6b^3 : 3b^3 {{/formula}}
40 +1. {{formula}} \frac{x^m}{x^{m-3}} {{/formula}}
41 +{{/aufgabe}}
42 +
43 +== Potenzen ==
44 +
45 +{{aufgabe id="Vereinfachen Produkt" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
46 +Gib an, welche Vereinfachung richtig ist.
47 +{{formula}} 2x^2 \cdot x^3 {{/formula}}
48 +
49 + ☐ {{formula}} 2x^5 {{/formula}}
50 + ☐ {{formula}} 2x^6 {{/formula}}
51 + ☐ kann man nicht vereinfachen, weil die Exponenten unterschiedlich sind
52 +{{/aufgabe}}
53 +
54 +{{aufgabe id="Negative Potenz" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
55 +Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
56 +{{/aufgabe}}
57 +
27 27  == Zusammenfassen ==
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Vereinfachen B" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="8" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -109,8 +109,8 @@
109 109  Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist {{formula}}\frac{19}{24}{{/formula}}. Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.
110 110  {{/aufgabe}}
111 111  
112 -{{aufgabe id="Was gehört zusammen?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
113 -Bestimme zu jedem Term in der linken Spalte den passenden Sachverhalt die Sachverhalte in der rechten Spalte.
143 +{{aufgabe id="Was gehört zusammen?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
144 +Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:
114 114  
115 115  (%class="border%)
116 116  |Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x. \\ Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm.|{{formula}}(x+5) + x = 60{{/formula}}
... ... @@ -123,7 +123,7 @@
123 123  |Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€. \\An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen. \\Am Schluss verbleiben ihm 12€.| {{formula}}5x + 12 =60{{/formula}}
124 124  {{/aufgabe}}
125 125  
126 -{{aufgabe id="Falsche Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="8" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
157 +{{aufgabe id="Falsche Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
127 127  Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.
128 128  (%class=abc%)
129 129  1. {{formula}}a-(b-c)=a-b-c{{/formula}}
... ... @@ -139,7 +139,7 @@
139 139  
140 140  {{/aufgabe}}
141 141  
142 -{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="4" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
173 +{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
143 143  Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
144 144  (%class="border%)
145 145  |Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
... ... @@ -150,7 +150,7 @@
150 150  |5) {{formula}}5x^2 - 10x + 5{{/formula}} | a) {{formula}}5(x+1)^2{{/formula}} \\ b) {{formula}}5(x-1)^2{{/formula}} \\ c) {{formula}}5(x-1)(x+1){{/formula}} |
151 151  {{/aufgabe}}
152 152  
153 -{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Binome" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
184 +{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Binome" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
154 154  Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
155 155  (%class="border"%)
156 156  |Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
... ... @@ -163,7 +163,21 @@
163 163  |7) {{formula}}(0,\!5x - 1)(0,\!5x - 1){{/formula}} | a) {{formula}}0,\!25x^2 - 1{{/formula}} \\ b) {{formula}}0,\!25x^2 - x + 1{{/formula}} \\ c) {{formula}}(0,\!5x + 1)^2{{/formula}} |
164 164  {{/aufgabe}}
165 165  
166 -{{aufgabe id="Binome ergänzen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
197 +{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
198 +Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
199 +(%class="border"%)
200 +|Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
201 +|1) {{formula}}2x^2 + x^2{{/formula}} | a) {{formula}}3x^4{{/formula}} \\ b) {{formula}}2x^4{{/formula}} \\ c) {{formula}}3x^2{{/formula}} |
202 +|2) {{formula}}(-1)^2 + (5x)^0 + 3^0{{/formula}} | a) {{formula}}6x+4{{/formula}} \\ b) {{formula}}1{{/formula}} \\ c) {{formula}}3{{/formula}} |
203 +|3) {{formula}}3^{2x} \cdot 3^x{{/formula}} | a) {{formula}}3^{2x^2}{{/formula}} \\ b) {{formula}}3^{3x}{{/formula}} \\ c) {{formula}}9^{2x^2}{{/formula}} |
204 +|4) {{formula}}(5b^2)^8{{/formula}} | a) {{formula}}5b^6{{/formula}} \\ b) {{formula}}125b^6{{/formula}} \\ c) {{formula}}125b^5{{/formula}} |
205 +|5) {{formula}}5 \cdot 3^x - 3^x{{/formula}} | a) {{formula}}4 \cdot 3^x{{/formula}} \\ b) {{formula}}12^x{{/formula}} \\ c) {{formula}}5{{/formula}} |
206 +|6) {{formula}}ab^2 : ab{{/formula}} | a) {{formula}}b^3{{/formula}} \\ b) {{formula}}b{{/formula}} \\ c) {{formula}}a^2b^2{{/formula}} |
207 +|7) {{formula}}2x^2y + 3xy^2 + 5xy^2 - 7x^2y{{/formula}} | a) {{formula}}3x^2y^3{{/formula}} \\ b) {{formula}}8xy^2 - 5x^2y{{/formula}} \\ c) {{formula}}3x^2y^2{{/formula}} |
208 +|8) {{formula}}10^x : 10^x{{/formula}} | a) {{formula}}10^{2x}{{/formula}} \\ b) {{formula}}1{{/formula}} \\ c) {{formula}}10{{/formula}} |
209 +{{/aufgabe}}
210 +
211 +{{aufgabe id="Binome ergänzen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
167 167  Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.
168 168  (%class="border"%)
169 169  |a) {{formula}}(x + \square)(x - \square) = x^2 - 25{{/formula}} | {{formula}}\square={{/formula}}
... ... @@ -173,6 +173,78 @@
173 173  |e) {{formula}}(4x - \square)(4x + \square) = \Delta - 49y^2{{/formula}} | {{formula}}\square={{/formula}} {{formula}}\Delta={{/formula}}
174 174  {{/aufgabe}}
175 175  
221 +{{aufgabe id="Fehlerteufel" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
222 +Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
223 +Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
224 +Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden.
225 +(%class=abc%)
226 +1. Löse die Klammer auf: {{formula}}(5ab)^3{{/formula}}
227 +11. {{formula}}5a^3b^3{{/formula}}
228 +11. {{formula}}125a^3b{{/formula}}
229 +11. {{formula}}125a^3b^3{{/formula}}
230 +11. {{formula}}15a^3b^3{{/formula}}
231 +11. {{formula}}5ab^3{{/formula}}
232 +1. Vereinfache soweit wie möglich: {{formula}}v^6:v^{n-6}{{/formula}}
233 +11. {{formula}}v^{-n}{{/formula}}
234 +11. {{formula}}v^{n+12}{{/formula}}
235 +11. {{formula}}v^{-1+n}{{/formula}}
236 +11. {{formula}}v^{12-n}{{/formula}}
237 +11. {{formula}}v^{n-12}{{/formula}}
238 +{{/aufgabe}}
239 +
240 +{{aufgabe id="Potenzen mit negativen Exponenten" afb="III" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
241 +Tim überlegt: Wenn {{formula}}2^{-1}{{/formula}} dasselbe ist wie {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}, dann ist doch {{formula}}3^{-2}{{/formula}} dasselbe wie {{formula}}\frac{2}{3}{{/formula}}.
242 +Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach {{formula}}10^{-2}{{/formula}}?
243 +Hat Tim Recht?
244 +
245 +{{/aufgabe}}
246 +
247 +{{aufgabe id="Rechnen mit Potenzen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
248 +Fasse zusammen:
249 +1.a) {{formula}}3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3{{/formula}}
250 +1.b) {{formula}}2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x{{/formula}}
251 +1.c) {{formula}}2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1{{/formula}}
252 +
253 +Wende die Potenzgesetze an:
254 +2.a) {{formula}}a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5{{/formula}}
255 +
256 +2.b) {{formula}}-10a^2 + 2a(a+2){{/formula}}
257 +
258 +2.c) {{formula}}y^3 \cdot (-x)^3{{/formula}}
259 +
260 +2.d) {{formula}}\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4{{/formula}}
261 +
262 +2.e) {{formula}}\frac{b^{n+2}}{b^n}{{/formula}}
263 +
264 +2.f) {{formula}}\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}{{/formula}}
265 +
266 +2.g) {{formula}}\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{{/formula}}
267 +
268 +2.h) {{formula}}\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}{{/formula}}
269 +
270 +2.i) {{formula}}(-2y)^3{{/formula}}
271 +
272 +2.j) {{formula}}(5a^3b^2)^3{{/formula}}
273 +
274 +(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)(((
275 +**Merke:**
276 +1. Bei Addition und Subtraktion:
277 +Man darf nur Potenzen zusammenfassen, die die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. Hierbei gilt immer: __Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung!__
278 +1. Bei Multiplikation und Division:
279 + 1) {{formula}}a^n \cdot a^m = a^{n+m}{{/formula}}
280 + 2) {{formula}}a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n{{/formula}}
281 + 3) {{formula}}\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}{{/formula}}
282 + 4) {{formula}}\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n{{/formula}}
283 + 5) {{formula}}(a^n)^m = a^{n \cdot m}{{/formula}}
284 +1. Beachte außerdem:
285 + 1) Bei ungerader Hochzahl und negativer Basis bleibt das Minuszeichen erhalten,
286 + Bsp. {{formula}}(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27{{/formula}}
287 + 2) Bei gerader Hochzahl und negativer Basis fällt das Minuszeichen weg,
288 + Bsp. {{formula}}(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9{{/formula}}
289 + 3) Unterscheide: {{formula}}-(-2)^2 = -(2)^2= -4{{/formula}}
290 + {{formula}}(-2)^2 = (-2)(-2) = 4{{/formula}})))
291 +{{/aufgabe}}
292 +
176 176  {{aufgabe id="Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
177 177  Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
178 178  1.a) {{formula}}2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5){{/formula}}
... ... @@ -194,12 +194,32 @@
194 194  5.a) {{formula}}12ax^2 - 8ax{{/formula}}
195 195  5.b) {{formula}}3x^2 - 12{{/formula}}
196 196  5.c) {{formula}}\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}{{/formula}}
314 +
315 +(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)(((
316 +**Merke:**
317 +1) **Vorzeichenregeln**
318 + Plus mal Plus ist Plus.
319 + Minus mal Plus ist Minus.
320 + Plus mal Minus ist Minus.
321 + Minus mal Minus ist Plus.
322 +2) **Rechnen mit Klammern**
323 +Geschickt ist es, zuerst die innere Klammer und dann die äußere aufzulösen.
324 +3) **Multiplikation von Klammern**
325 + {{formula}}(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn{{/formula}}
326 +4) **Binomische Formeln**
327 + {{formula}}(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2{{/formula}}
328 + {{formula}}(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2{{/formula}}
329 + {{formula}}(a + b)(a - b) = a^2 - b^2{{/formula}}
330 +5) **Ausklammern**
331 +Klammere gemeinsame Faktoren aus und wende wenn möglich die binomischen Formeln an.
332 +)))
333 +
197 197  {{/aufgabe}}
198 198  
199 199  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
200 200  Wähle die richtige{{{(n)}}} Aussage{{{(n)}}} aus und begründe deine Entscheidung.
201 201  
202 -Dividiere 30 durch {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} und addiere zum Ergebnis 15. Gib das richtige Ergebni an. Begründe deine Entscheidung.
339 +Dividiere 30 durch {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} und addiere zum Ergebnis 15. Was erhältst du?
203 203  
204 204  ☐ 30, weil {{formula}}15 + 15 = 30{{/formula}}
205 205  ☐ 75, weil {{formula}}15 + 60 = 75{{/formula}}