Änderungen von Dokument BPE 1.1 Rechnen mit Termen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,6 +24,37 @@
24	24	1. {{formula}} (2a - 4b):2 + 3a + b {{/formula}}
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
	27	+{{aufgabe id="Vereinfachung Potenz von Potenz" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
	28	+Gib die richtige Vereinfachung des Terms an:
	29	+{{formula}} (2^3)^2 {{/formula}}
	30	+
	31	+ ☐ {{formula}} 2^5 {{/formula}}
	32	+ ☐ {{formula}} 2^6 {{/formula}}
	33	+ ☐ {{formula}} 2^9 {{/formula}}
	34	+{{/aufgabe}}
	35	+
	36	+{{aufgabe id="Vereinfachen Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="3" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
	37	+Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme:
	38	+(%class="abc"%)
	39	+1. {{formula}} 6b^3 : 3b^3 {{/formula}}
	40	+1. {{formula}} \frac{x^m}{x^{m-3}} {{/formula}}
	41	+{{/aufgabe}}
	42	+
	43	+== Potenzen ==
	44	+
	45	+{{aufgabe id="Vereinfachen Produkt" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
	46	+Gib an, welche Vereinfachung richtig ist.
	47	+{{formula}} 2x^2 \cdot x^3 {{/formula}}
	48	+
	49	+ ☐ {{formula}} 2x^5 {{/formula}}
	50	+ ☐ {{formula}} 2x^6 {{/formula}}
	51	+ ☐ kann man nicht vereinfachen, weil die Exponenten unterschiedlich sind
	52	+{{/aufgabe}}
	53	+
	54	+{{aufgabe id="Negative Potenz" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
	55	+Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
	56	+{{/aufgabe}}
	57	+
27	27	== Zusammenfassen ==
28	28
29	29	{{aufgabe id="Vereinfachen B" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="8" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
...	...	@@ -109,21 +109,21 @@
109	109	Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist {{formula}}\frac{19}{24}{{/formula}}. Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.
110	110	{{/aufgabe}}
111	111
112		-{{aufgabe id="Was gehört zusammen?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
113		-Bestimme zu jedem Term in der linken Spalte den passenden Sachverhalt die Sachverhalte in der rechten Spalte.
	143	+{{aufgabe id="Was gehört zusammen?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	144	+Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:
114	114
115	115	(%class="border%)
116		-|Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x. \\Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60 cm.|{{formula}}(x+5) + x = 60{{/formula}}
	147	+|Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x. \\ Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm.|{{formula}}(x+5) + x = 60{{/formula}}
117	117	|x ist das Alter von Kurt. Hanne ist 5 Jahre älter. Zusammen sind sie 60 Jahre alt.|{{formula}} x \cdot \frac{3}{100}=60{{/formula}}
118		-|Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60 €. \\Der Zinssatz beträgt 3%.|{{formula}}(x+12)(x-5) = 60{{/formula}}
119		-|Eine Seite eines Quadrates wird um 12 cm verlängert, die andere um 5 cm verkürzt. \\Der Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60 cm².|{{formula}} x \cdot \frac{3}{100\cdot 12}=60{{/formula}}
120		-|Auf einer 60 kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12 kg.|{{formula}}(x-5) + x = 60{{/formula}}
121		-|Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3 % Zinsen. Jeden Monat sind dies 60 €.|{{formula}}(x+5)x = 60{{/formula}}
122		-|Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m \\unterscheiden, hat eine Fläche von 60 m².|{{formula}}60 - 5x = 12{{/formula}}
123		-|Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60 €. \\An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen. \\Am Schluss verbleiben ihm 12 €.| {{formula}}5x + 12 =60{{/formula}}
	149	+|Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60€. \\Der Zinssatz beträgt 3%.|{{formula}}(x+12)(x-5) = 60{{/formula}}
	150	+|Eine Seite eines Quadrates wird um 12cm verlängert, die andere um 5cm verkürzt. \\Der Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60cm².|{{formula}} x \cdot \frac{3}{100\cdot 12}=60{{/formula}}
	151	+|Auf einer 60kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12kg.|{{formula}}(x-5) + x = 60{{/formula}}
	152	+|Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3% Zinsen. Jeden Monat sind dies 60€.|{{formula}}(x+5)x = 60{{/formula}}
	153	+|Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m \\unterscheiden, hat eine Fläche von 60m².|{{formula}}60 - 5x = 12{{/formula}}
	154	+|Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€. \\An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen. \\Am Schluss verbleiben ihm 12€.| {{formula}}5x + 12 =60{{/formula}}
124	124	{{/aufgabe}}
125	125
126		-{{aufgabe id="Falsche Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="8" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	157	+{{aufgabe id="Falsche Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
127	127	Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.
128	128	(%class=abc%)
129	129	1. {{formula}}a-(b-c)=a-b-c{{/formula}}
...	...	@@ -136,9 +136,10 @@
136	136	1. {{formula}}\sqrt{x^2}=x{{/formula}}
137	137
138	138	Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?
	170	+
139	139	{{/aufgabe}}
140	140
141		-{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="4" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	173	+{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
142	142	Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
143	143	(%class="border%)
144	144	|Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
...	...	@@ -149,7 +149,7 @@
149	149	|5) {{formula}}5x^2 - 10x + 5{{/formula}} | a) {{formula}}5(x+1)^2{{/formula}} \\ b) {{formula}}5(x-1)^2{{/formula}} \\ c) {{formula}}5(x-1)(x+1){{/formula}} |
150	150	{{/aufgabe}}
151	151
152		-{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Binome" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K4" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	184	+{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Binome" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
153	153	Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
154	154	(%class="border"%)
155	155	|Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
...	...	@@ -162,7 +162,21 @@
162	162	|7) {{formula}}(0,\!5x - 1)(0,\!5x - 1){{/formula}} | a) {{formula}}0,\!25x^2 - 1{{/formula}} \\ b) {{formula}}0,\!25x^2 - x + 1{{/formula}} \\ c) {{formula}}(0,\!5x + 1)^2{{/formula}} |
163	163	{{/aufgabe}}
164	164
165		-{{aufgabe id="Binome ergänzen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="5" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	197	+{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	198	+Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
	199	+(%class="border"%)
	200	+|Term |Auswahlmöglichkeiten |Lösungsfeld
	201	+|1) {{formula}}2x^2 + x^2{{/formula}} | a) {{formula}}3x^4{{/formula}} \\ b) {{formula}}2x^4{{/formula}} \\ c) {{formula}}3x^2{{/formula}} |
	202	+|2) {{formula}}(-1)^2 + (5x)^0 + 3^0{{/formula}} | a) {{formula}}6x+4{{/formula}} \\ b) {{formula}}1{{/formula}} \\ c) {{formula}}3{{/formula}} |
	203	+|3) {{formula}}3^{2x} \cdot 3^x{{/formula}} | a) {{formula}}3^{2x^2}{{/formula}} \\ b) {{formula}}3^{3x}{{/formula}} \\ c) {{formula}}9^{2x^2}{{/formula}} |
	204	+|4) {{formula}}(5b^2)^8{{/formula}} | a) {{formula}}5b^6{{/formula}} \\ b) {{formula}}125b^6{{/formula}} \\ c) {{formula}}125b^5{{/formula}} |
	205	+|5) {{formula}}5 \cdot 3^x - 3^x{{/formula}} | a) {{formula}}4 \cdot 3^x{{/formula}} \\ b) {{formula}}12^x{{/formula}} \\ c) {{formula}}5{{/formula}} |
	206	+|6) {{formula}}ab^2 : ab{{/formula}} | a) {{formula}}b^3{{/formula}} \\ b) {{formula}}b{{/formula}} \\ c) {{formula}}a^2b^2{{/formula}} |
	207	+|7) {{formula}}2x^2y + 3xy^2 + 5xy^2 - 7x^2y{{/formula}} | a) {{formula}}3x^2y^3{{/formula}} \\ b) {{formula}}8xy^2 - 5x^2y{{/formula}} \\ c) {{formula}}3x^2y^2{{/formula}} |
	208	+|8) {{formula}}10^x : 10^x{{/formula}} | a) {{formula}}10^{2x}{{/formula}} \\ b) {{formula}}1{{/formula}} \\ c) {{formula}}10{{/formula}} |
	209	+{{/aufgabe}}
	210	+
	211	+{{aufgabe id="Binome ergänzen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
166	166	Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.
167	167	(%class="border"%)
168	168	|a) {{formula}}(x + \square)(x - \square) = x^2 - 25{{/formula}} | {{formula}}\square={{/formula}}
...	...	@@ -172,6 +172,78 @@
172	172	|e) {{formula}}(4x - \square)(4x + \square) = \Delta - 49y^2{{/formula}} | {{formula}}\square={{/formula}} {{formula}}\Delta={{/formula}}
173	173	{{/aufgabe}}
174	174
	221	+{{aufgabe id="Fehlerteufel" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	222	+Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
	223	+Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
	224	+Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden.
	225	+(%class=abc%)
	226	+1. Löse die Klammer auf: {{formula}}(5ab)^3{{/formula}}
	227	+11. {{formula}}5a^3b^3{{/formula}}
	228	+11. {{formula}}125a^3b{{/formula}}
	229	+11. {{formula}}125a^3b^3{{/formula}}
	230	+11. {{formula}}15a^3b^3{{/formula}}
	231	+11. {{formula}}5ab^3{{/formula}}
	232	+1. Vereinfache soweit wie möglich: {{formula}}v^6:v^{n-6}{{/formula}}
	233	+11. {{formula}}v^{-n}{{/formula}}
	234	+11. {{formula}}v^{n+12}{{/formula}}
	235	+11. {{formula}}v^{-1+n}{{/formula}}
	236	+11. {{formula}}v^{12-n}{{/formula}}
	237	+11. {{formula}}v^{n-12}{{/formula}}
	238	+{{/aufgabe}}
	239	+
	240	+{{aufgabe id="Potenzen mit negativen Exponenten" afb="III" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	241	+Tim überlegt: Wenn {{formula}}2^{-1}{{/formula}} dasselbe ist wie {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}, dann ist doch {{formula}}3^{-2}{{/formula}} dasselbe wie {{formula}}\frac{2}{3}{{/formula}}.
	242	+Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach {{formula}}10^{-2}{{/formula}}?
	243	+Hat Tim Recht?
	244	+
	245	+{{/aufgabe}}
	246	+
	247	+{{aufgabe id="Rechnen mit Potenzen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
	248	+Fasse zusammen:
	249	+1.a) {{formula}}3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3{{/formula}}
	250	+1.b) {{formula}}2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x{{/formula}}
	251	+1.c) {{formula}}2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1{{/formula}}
	252	+
	253	+Wende die Potenzgesetze an:
	254	+2.a) {{formula}}a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5{{/formula}}
	255	+
	256	+2.b) {{formula}}-10a^2 + 2a(a+2){{/formula}}
	257	+
	258	+2.c) {{formula}}y^3 \cdot (-x)^3{{/formula}}
	259	+
	260	+2.d) {{formula}}\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4{{/formula}}
	261	+
	262	+2.e) {{formula}}\frac{b^{n+2}}{b^n}{{/formula}}
	263	+
	264	+2.f) {{formula}}\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}{{/formula}}
	265	+
	266	+2.g) {{formula}}\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{{/formula}}
	267	+
	268	+2.h) {{formula}}\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}{{/formula}}
	269	+
	270	+2.i) {{formula}}(-2y)^3{{/formula}}
	271	+
	272	+2.j) {{formula}}(5a^3b^2)^3{{/formula}}
	273	+
	274	+(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)(((
	275	+**Merke:**
	276	+1. Bei Addition und Subtraktion:
	277	+Man darf nur Potenzen zusammenfassen, die die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. Hierbei gilt immer: __Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung!__
	278	+1. Bei Multiplikation und Division:
	279	+ 1) {{formula}}a^n \cdot a^m = a^{n+m}{{/formula}}
	280	+ 2) {{formula}}a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n{{/formula}}
	281	+ 3) {{formula}}\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}{{/formula}}
	282	+ 4) {{formula}}\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n{{/formula}}
	283	+ 5) {{formula}}(a^n)^m = a^{n \cdot m}{{/formula}}
	284	+1. Beachte außerdem:
	285	+ 1) Bei ungerader Hochzahl und negativer Basis bleibt das Minuszeichen erhalten,
	286	+ Bsp. {{formula}}(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27{{/formula}}
	287	+ 2) Bei gerader Hochzahl und negativer Basis fällt das Minuszeichen weg,
	288	+ Bsp. {{formula}}(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9{{/formula}}
	289	+ 3) Unterscheide: {{formula}}-(-2)^2 = -(2)^2= -4{{/formula}}
	290	+ {{formula}}(-2)^2 = (-2)(-2) = 4{{/formula}})))
	291	+{{/aufgabe}}
	292	+
175	175	{{aufgabe id="Termumformungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
176	176	Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
177	177	1.a) {{formula}}2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5){{/formula}}
...	...	@@ -193,12 +193,32 @@
193	193	5.a) {{formula}}12ax^2 - 8ax{{/formula}}
194	194	5.b) {{formula}}3x^2 - 12{{/formula}}
195	195	5.c) {{formula}}\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}{{/formula}}
	314	+
	315	+(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)(((
	316	+**Merke:**
	317	+1) **Vorzeichenregeln**
	318	+ Plus mal Plus ist Plus.
	319	+ Minus mal Plus ist Minus.
	320	+ Plus mal Minus ist Minus.
	321	+ Minus mal Minus ist Plus.
	322	+2) **Rechnen mit Klammern**
	323	+Geschickt ist es, zuerst die innere Klammer und dann die äußere aufzulösen.
	324	+3) **Multiplikation von Klammern**
	325	+ {{formula}}(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn{{/formula}}
	326	+4) **Binomische Formeln**
	327	+ {{formula}}(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2{{/formula}}
	328	+ {{formula}}(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2{{/formula}}
	329	+ {{formula}}(a + b)(a - b) = a^2 - b^2{{/formula}}
	330	+5) **Ausklammern**
	331	+Klammere gemeinsame Faktoren aus und wende wenn möglich die binomischen Formeln an.
	332	+)))
	333	+
196	196	{{/aufgabe}}
197	197
198	198	{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
199	199	Wähle die richtige{{{(n)}}} Aussage{{{(n)}}} aus und begründe deine Entscheidung.
200	200
201		-Dividiere 30 durch {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} und addiere zum Ergebnis 15. Gib das richtige Ergebni an. Begründe deine Entscheidung.
	339	+Dividiere 30 durch {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} und addiere zum Ergebnis 15. Was erhältst du?
202	202
203	203	☐ 30, weil {{formula}}15 + 15 = 30{{/formula}}
204	204	☐ 75, weil {{formula}}15 + 60 = 75{{/formula}}