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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/11/27 09:27
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am 2025/11/17 15:07
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.wies
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -3,8 +3,6 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 -== Äquivalenzumformungen ==
7 -
8 8  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
9 9  Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
10 10  
... ... @@ -20,7 +20,7 @@
20 20  {{/aufgabe}}
21 21  
22 22  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
23 -Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
21 +Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
24 24  (%class="abc"%)
25 25  1. Jede Gleichung hat eine Lösung
26 26  1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
... ... @@ -28,8 +28,6 @@
28 28  1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -== Lösen von Gleichungen ==
32 -
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 34  Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35 35  
... ... @@ -36,8 +36,7 @@
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 37  {{/aufgabe}}
38 38  
39 -
40 -{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
35 +{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 41  Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42 42  
43 43  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -53,10 +53,18 @@
53 53  | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 -{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
51 +{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
52 +Es ist folgende Gleichung gegeben:
57 57  
54 +{{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
55 +
56 +Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
57 +{{/aufgabe}}
58 +
59 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60 +
58 58  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
59 -{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
62 +{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
60 60  
61 61  ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
62 62  ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
... ... @@ -64,13 +64,11 @@
64 64  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
65 65  {{/aufgabe}}
66 66  
67 -== Bruchgleichungen ==
68 -
69 69  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
70 70  Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
71 71  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
72 72  |= Bruch |= Definitionsmenge
73 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
74 +| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
74 74  | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
75 75  | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
76 76  | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
... ... @@ -78,39 +78,37 @@
78 78  {{/aufgabe}}
79 79  
80 80  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
81 -Finde den Hauptnenner folgender Brüche
82 +Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
82 82   (%class="123"%)
83 83  
84 - 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
85 - 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
86 - 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
87 - 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
88 - 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
85 +1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
86 +1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
87 +1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
88 +1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
89 +1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 -{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
92 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
92 92   (%class="123"%)
93 -Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
94 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
94 94  
95 95  1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
96 96  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
97 -
98 -
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
101 -{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
102 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
103 -
100 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
102 +
103 +Azra
104 104  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
105 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
107 -{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
108 -{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
109 -{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
105 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 +Alex
107 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
108 +{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
110 110  {{/aufgabe}}
111 111  
112 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
113 -Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
111 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 +Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
114 114   (%class="123"%)
115 115  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
116 116  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
... ... @@ -120,22 +120,51 @@
120 120  {{/aufgabe}}
121 121  
122 122  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
123 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
124 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
125 - ◦ keine bzw.
126 - ◦ unendlich viele Lösungen
122 +Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
123 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
124 +
125 + ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
126 + ◦ keine Lösung
127 + ◦ unendlich viele Lösungen
127 127   besitzt.
128 128  
129 - {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
130 -
131 131  {{/aufgabe}}
132 132  
133 -== Formeln ==
132 +{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 +Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
134 +{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
135 +{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
136 +{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
137 +(%class="abc"%)
138 +1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
139 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
140 + Gib hierzu eine Formel an.
141 +{{/aufgabe}}
134 134  
135 135  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
136 -Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
137 -Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
144 +Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
145 +Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
138 138  {{/aufgabe}}
139 139  
140 -{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
148 +{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
149 +Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
150 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
151 + (%class="abc"%)
152 + 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
153 + 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
154 + 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
155 + 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
156 +{{/aufgabe}}
141 141  
158 +{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
159 +Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
160 +In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
161 +In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
162 + (%class="abc"%)
163 +1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
164 +1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
165 +1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
166 +{{/aufgabe}}
167 +
168 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}
169 +