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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/11/27 09:27
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bearbeitet von Martina Wagner
am 2025/11/27 09:26
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am 2025/11/19 06:34
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinawagner
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -3,6 +3,8 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 +== Äquivalenzumformungen ==
7 +
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 7  Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8 8  
... ... @@ -18,7 +18,7 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 -Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
23 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
22 22  (%class="abc"%)
23 23  1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 24  1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
... ... @@ -26,6 +26,8 @@
26 26  1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
31 +== Lösen von Gleichungen ==
32 +
29 29  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 30  Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
31 31  
... ... @@ -32,7 +32,8 @@
32 32  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 -{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
39 +
40 +{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 36  Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
37 37  
38 38  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -48,26 +48,20 @@
48 48  | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 -{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
56 +{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 +
52 52  Es ist folgende Gleichung gegeben:
53 53  
54 54  {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
55 55  
56 -Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
57 -{{/aufgabe}}
62 +Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
58 58  
59 -{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60 -(%class=abc%)
61 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
62 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
66 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 65  
66 -
67 -{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
68 -
69 69  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
70 -{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
69 +{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
71 71  
72 72  ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
73 73  ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
... ... @@ -75,6 +75,8 @@
75 75  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
76 76  {{/aufgabe}}
77 77  
77 +== Bruchgleichungen ==
78 +
78 78  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
79 79  Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
80 80  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -87,7 +87,7 @@
87 87  {{/aufgabe}}
88 88  
89 89  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
90 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
91 +Finde den Hauptnenner folgender Brüche
91 91   (%class="123"%)
92 92  
93 93  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
... ... @@ -97,27 +97,29 @@
97 97  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
100 -{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 101   (%class="123"%)
102 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
103 +Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
103 103  
104 104  1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
105 105  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
107 +
108 +
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 -{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
109 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
110 -
111 -Azra
111 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
113 +
112 112  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
113 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
114 -Alex
115 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
116 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
115 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
116 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
117 +{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
118 +{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
119 +{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
117 117  {{/aufgabe}}
118 118  
119 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
120 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
122 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
123 +Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
121 121   (%class="123"%)
122 122  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
123 123  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
... ... @@ -127,15 +127,18 @@
127 127  {{/aufgabe}}
128 128  
129 129  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
130 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
131 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
132 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
133 - ◦ keine Lösung
134 - ◦ unendlich viele Lösungen
133 +Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
134 + ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
135 + ◦ keine bzw.
136 + ◦ unendlich viele Lösungen
135 135   besitzt.
136 136  
139 + {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
140 +
137 137  {{/aufgabe}}
138 138  
143 +== Formeln ==
144 +
139 139  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
140 140  Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
141 141  {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
... ... @@ -142,35 +142,37 @@
142 142  {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
143 143  {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
144 144  (%class="abc"%)
145 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
146 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
147 - Gib hierzu eine Formel an.
151 +1. Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
152 +1. Wie müsste man die Formel abändern, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden? Gib hierzu eine Formel an.
148 148  {{/aufgabe}}
149 149  
150 150  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
151 -Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
152 -Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
156 +Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
157 +Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
153 153  {{/aufgabe}}
154 154  
155 -{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
160 +{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
156 156  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
157 157  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
158 158   (%class="abc"%)
159 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
160 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
161 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
162 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
164 + 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
165 + 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
166 + 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
167 + 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
168 +
163 163  {{/aufgabe}}
164 164  
165 -{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
171 +{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
166 166  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
167 -In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
168 -In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
173 +In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
174 +In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
169 169   (%class="abc"%)
170 170  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
171 171  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
172 -1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
178 +1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
173 173  {{/aufgabe}}
174 174  
175 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}
176 176  
182 +
183 +{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
184 +