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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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bearbeitet von Holger Engels
am 2026/02/27 08:40
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bearbeitet von Sandra Vogt
am 2026/04/30 15:00
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.sandravogt
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 -Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
7 +Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
8 8  
9 9  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 10  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
... ... @@ -20,32 +20,37 @@
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 21  Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
26 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
23 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 +
25 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 +
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 +
29 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 +
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
31 31  
32 32  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 +
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 35  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
41 +Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
37 37  
38 38  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
39 -|= Gleichung |= Lösungsmenge
40 -| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 -| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
42 -| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 -| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 -| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 -| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 -| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 -| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 -| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 +| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 +| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 +| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 +| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 +| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 +| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 +| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 +| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 +| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 51  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -57,9 +57,11 @@
57 57  {{/aufgabe}}
58 58  
59 59  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 +Löse die folgenden Aufgaben:
60 60  (%class=abc%)
61 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
62 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
67 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 +
69 +1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 65  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
... ... @@ -74,62 +74,77 @@
74 74  {{/aufgabe}}
75 75  
76 76  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
77 -Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
84 +Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
78 78  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
79 79  |= Bruch |= Definitionsmenge
80 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
81 -| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
82 -| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
83 -| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
84 -| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
87 +| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 +| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 +| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 +| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 +| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
85 85  {{/aufgabe}}
86 86  
87 87  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
88 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
89 - (%class="123"%)
90 -
95 +Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 +(%class="abc"%)
91 91  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 +
92 92  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 +
93 93  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +
94 94  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 +
95 95  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 +
96 96  {{/aufgabe}}
97 97  
98 98  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
99 - (%class="123"%)
100 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
101 -
102 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 +(%class="abc"%)
112 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 +
103 103  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
104 104  {{/aufgabe}}
105 105  
106 106  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
107 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
118 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 +
120 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
108 108  
109 -Azra
110 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
111 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
112 -Alex
113 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
114 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
115 -{{/aufgabe}}
122 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
116 116  
124 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 +
126 +(%class="abc"%)
127 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 +
129 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 + {{/aufgabe}}
131 +
117 117  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
119 - (%class="123"%)
133 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 +(%class="abc"%)
120 120  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 +
121 121  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
122 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
138 +
139 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 +
123 123  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 +
124 124  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 127  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
128 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
129 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
130 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
131 - ◦ keine Lösung
132 - ◦ unendlich viele Lösungen
147 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
148 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
149 +
150 +(%class="abc"%)
151 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
152 +1. keine Lösung
153 +1. unendlich viele Lösungen
154 +
133 133   besitzt.
134 134  
135 135  {{/aufgabe}}
... ... @@ -141,6 +141,7 @@
141 141  {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
142 142  (%class="abc"%)
143 143  1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
166 +
144 144  1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
145 145   Gib hierzu eine Formel an.
146 146  {{/aufgabe}}
... ... @@ -153,7 +153,7 @@
153 153  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
154 154  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
155 155  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
156 - (%class="abc"%)
179 +(%class="abc"%)
157 157   1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
158 158   1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
159 159   1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
... ... @@ -164,7 +164,7 @@
164 164  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
165 165  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
166 166  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
167 - (%class="abc"%)
190 +(%class="abc"%)
168 168  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
169 169  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
170 170  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.