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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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am 2026/04/30 14:24
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -20,37 +20,36 @@
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 21  Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
23 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 24  
25 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
25 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
26 26  
27 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
28 28  
29 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
29 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
30 30  
31 31  {{/aufgabe}}
32 32  
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35 35  
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 -
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 40  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 -Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
40 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42 42  
43 43  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 -|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 -| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 -| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 -| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 -| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 -| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 -| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 -| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 -| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 -| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
43 +|= Gleichung |= Lösungsmenge
44 +| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
45 +| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
46 +| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
47 +| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
48 +| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
49 +| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
50 +| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
51 +| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
52 +| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 56  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -62,11 +62,9 @@
62 62  {{/aufgabe}}
63 63  
64 64  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 -Löse die folgenden Aufgaben:
66 66  (%class=abc%)
67 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 -
69 -1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
65 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
66 +1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
70 70  {{/aufgabe}}
71 71  
72 72  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
... ... @@ -81,79 +81,64 @@
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
83 83  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 -Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
81 +Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
85 85  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86 86  |= Bruch |= Definitionsmenge
87 -| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 -| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 -| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 -| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 -| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
84 +| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
85 +| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
86 +| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
87 +| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
88 +| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 94  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 -Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 -(%class="abc"%)
92 +Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
93 + (%class="123"%)
94 +
97 97  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 -
99 99  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 -
101 101  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 -
103 103  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 -
105 105  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 -
107 107  {{/aufgabe}}
108 108  
109 109  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
110 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 -(%class="abc"%)
112 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 -
103 + (%class="123"%)
104 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
105 +
106 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
114 114  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
115 115  {{/aufgabe}}
116 116  
117 117  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 -
120 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
111 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
121 121  
122 -Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
113 +Azra
114 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
115 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
116 +Alex
117 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
118 +{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
119 +{{/aufgabe}}
123 123  
124 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 -
126 -(%class="abc"%)
127 -1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 -
129 -1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 - {{/aufgabe}}
131 -
132 132  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 -Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 -(%class="abc"%)
122 +Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
123 + (%class="123"%)
135 135  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 -
137 137  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
138 -
139 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 -
126 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
141 141  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 -
143 143  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
144 144  {{/aufgabe}}
145 145  
146 146  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
147 -Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
132 +Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
133 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
134 + ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
135 + ◦ keine Lösung
136 + ◦ unendlich viele Lösungen
137 + besitzt.
148 148  
149 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150 -
151 -(%class="abc"%)
152 -1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153 -1. keine Lösung
154 -1. unendlich viele Lösungen
155 -besitzt.
156 -
157 157  {{/aufgabe}}
158 158  
159 159  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -163,7 +163,6 @@
163 163  {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
164 164  (%class="abc"%)
165 165  1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
166 -
167 167  1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
168 168   Gib hierzu eine Formel an.
169 169  {{/aufgabe}}
... ... @@ -176,7 +176,7 @@
176 176  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
177 177  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
178 178  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
179 -(%class="abc"%)
160 + (%class="abc"%)
180 180   1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
181 181   1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
182 182   1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
... ... @@ -187,7 +187,7 @@
187 187  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
188 188  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
189 189  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
190 -(%class="abc"%)
171 + (%class="abc"%)
191 191  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
192 192  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
193 193  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.