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Version 68.1 von Martina Wagner am 2025/11/27 09:24
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5
6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8
9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
18 {{/aufgabe}}
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20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
26 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
31
32 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
37
38 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
39 |= Gleichung |= Lösungsmenge
40 | 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 | 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
42 | 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 | 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 | 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 | 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 | 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 | 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
49 {{/aufgabe}}
50
51 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
52 Es ist folgende Gleichung gegeben:
53
54 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
55
56 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
57 {{/aufgabe}}
58
59 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60
61 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
62 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
63
64 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
65 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
66 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
67 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
68 {{/aufgabe}}
69
70 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
71 Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
72 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
73 |= Bruch |= Definitionsmenge
74 | 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
75 | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
76 | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
77 | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
78 | 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
82 Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
83 (%class="123"%)
84
85 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
86 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
87 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
88 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
89 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
90 {{/aufgabe}}
91
92 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
93 (%class="123"%)
94 Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
95
96 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
97 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
98 {{/aufgabe}}
99
100 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
102
103 Azra
104 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
105 {{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 Alex
107 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
108 {{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
113 (%class="123"%)
114 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
115 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
116 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
117 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
118 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
119 {{/aufgabe}}
120
121 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
122 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
123 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
124 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
125 ◦ keine Lösung
126 ◦ unendlich viele Lösungen
127 besitzt.
128
129 {{/aufgabe}}
130
131 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
132 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
133 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
134 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
135 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
136 (%class="abc"%)
137 1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
138 1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
139 Gib hierzu eine Formel an.
140 {{/aufgabe}}
141
142 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
143 Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
144 Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
145 {{/aufgabe}}
146
147 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
148 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
149 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
150 (%class="abc"%)
151 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
152 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
153 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
154 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
155 {{/aufgabe}}
156
157 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
158 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
159 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
160 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
161 (%class="abc"%)
162 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
163 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
164 1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}