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Version 78.1 von Sandra Vogt am 2026/04/30 14:31
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
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6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
8
9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
18 {{/aufgabe}}
19
20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24
25 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26
27 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28
29 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
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31 {{/aufgabe}}
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33 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
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36 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37
38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
42
43 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 |= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 | {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 | {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 | {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 | {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 | {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 | {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 | {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 | {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 | {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 Es ist folgende Gleichung gegeben:
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59 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
60
61 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 Löse die folgenden Aufgaben:
66 (%class=abc%)
67 1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68
69 1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73
74 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
75 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
76
77 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
78 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
79 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
80 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
81 {{/aufgabe}}
82
83 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
85 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86 |= Bruch |= Definitionsmenge
87 | {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 | {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 | {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 | {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 | {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
96 (%class="123"%)
97
98 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
99 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
101 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
102 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
103 {{/aufgabe}}
104
105 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
106 (%class="123"%)
107 Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
108
109 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
111 {{/aufgabe}}
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113 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
114 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
115
116 Azra
117 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
118 {{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
119 Alex
120 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
121 {{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
125 Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
126 (%class="123"%)
127 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
128 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
129 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
130 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
131 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
132 {{/aufgabe}}
133
134 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
135 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
136 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
137 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
138 ◦ keine Lösung
139 ◦ unendlich viele Lösungen
140 besitzt.
141
142 {{/aufgabe}}
143
144 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
145 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
146 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
147 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
148 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
149 (%class="abc"%)
150 1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
151 1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
152 Gib hierzu eine Formel an.
153 {{/aufgabe}}
154
155 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
156 Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
157 Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
158 {{/aufgabe}}
159
160 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
161 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
162 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
163 (%class="abc"%)
164 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
165 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
166 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
167 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
168 {{/aufgabe}}
169
170 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
171 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
172 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
173 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
174 (%class="abc"%)
175 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
176 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
177 1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
178 {{/aufgabe}}
179
180 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}