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Version 84.1 von Sandra Vogt am 2026/04/30 14:38
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
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6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
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9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
18 {{/aufgabe}}
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20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24
25 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26
27 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28
29 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
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31 {{/aufgabe}}
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33 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
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36 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37
38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
42
43 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 |= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 | {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 | {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 | {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 | {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 | {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 | {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 | {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 | {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 | {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 Es ist folgende Gleichung gegeben:
58
59 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
60
61 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 Löse die folgenden Aufgaben:
66 (%class=abc%)
67 1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68
69 1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73
74 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
75 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
76
77 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
78 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
79 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
80 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
81 {{/aufgabe}}
82
83 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
85 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86 |= Bruch |= Definitionsmenge
87 | {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 | {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 | {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 | {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 | {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 (%class="abc"%)
97 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98
99 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100
101 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102
103 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104
105 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106
107 {{/aufgabe}}
108
109 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
110 Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 (%class="abc"%)
112 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113
114 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
119
120 Azra:
121 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
122
123 Alex:
124 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 {{/aufgabe}}
126
127 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
128 Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
129 (%class="123"%)
130 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
131 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
132 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
133 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
134 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
135 {{/aufgabe}}
136
137 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
138 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
139 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
140 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
141 ◦ keine Lösung
142 ◦ unendlich viele Lösungen
143 besitzt.
144
145 {{/aufgabe}}
146
147 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
148 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
149 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
150 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
151 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
152 (%class="abc"%)
153 1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
154 1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
155 Gib hierzu eine Formel an.
156 {{/aufgabe}}
157
158 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
159 Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
160 Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
161 {{/aufgabe}}
162
163 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
164 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
165 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
166 (%class="abc"%)
167 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
168 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
169 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
170 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
171 {{/aufgabe}}
172
173 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
174 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
175 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
176 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
177 (%class="abc"%)
178 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
179 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
180 1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
181 {{/aufgabe}}
182
183 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}