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Version 90.1 von Sandra Vogt am 2026/04/30 14:57
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
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6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
8
9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
18 {{/aufgabe}}
19
20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24
25 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26
27 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28
29 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30
31 {{/aufgabe}}
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33 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
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36 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37
38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
42
43 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 |= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 | {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 | {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 | {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 | {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 | {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 | {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 | {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 | {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 | {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 Es ist folgende Gleichung gegeben:
58
59 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
60
61 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 Löse die folgenden Aufgaben:
66 (%class=abc%)
67 1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68
69 1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73
74 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
75 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
76
77 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
78 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
79 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
80 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
81 {{/aufgabe}}
82
83 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
85 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86 |= Bruch |= Definitionsmenge
87 | {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 | {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 | {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 | {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 | {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 (%class="abc"%)
97 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98
99 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100
101 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102
103 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104
105 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106
107 {{/aufgabe}}
108
109 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
110 Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 (%class="abc"%)
112 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113
114 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119
120 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
121
122 Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
123
124 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125
126 (%class="abc"%)
127 1. Begründe, ob Alex recht hat.
128
129 1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 (%class="123"%)
135 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136
137 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
138
139 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140
141 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142
143 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
144 {{/aufgabe}}
145
146 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
147 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
148 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
149 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
150 ◦ keine Lösung
151 ◦ unendlich viele Lösungen
152 besitzt.
153
154 {{/aufgabe}}
155
156 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
157 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
158 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
159 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
160 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
161 (%class="abc"%)
162 1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
163
164 1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
165 Gib hierzu eine Formel an.
166 {{/aufgabe}}
167
168 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
169 Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
170 Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
171 {{/aufgabe}}
172
173 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
174 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
175 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
176 (%class="abc"%)
177 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
178 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
179 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
180 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
181 {{/aufgabe}}
182
183 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
184 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
185 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
186 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
187 (%class="abc"%)
188 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
189 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
190 1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
191 {{/aufgabe}}
192
193 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}