BPE 5.1 Ortslinien und Geometrie im Dreieck

1  Grundkonstruktion Mittelsenkrechte  (15 min) 𝕋  𝕃

Im Koordinatensystem sind die Punkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\) gegeben.

1. Zeichne \(A, B\)  und \(C\) in ein Koordinatensystem ein und konstruiere zur Strecke \(\overline{AB}\) und zur Strecke \(\overline{AC}\) jeweils die Mittelsenkrechte.
2. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Erläutere Deine Messung.
3. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{BC}\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft.
4. Beschreibe, welche Bedeutung Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

2  Haltestellen  (10 min) 𝕃

Leo, Karmen und Moritz wohnen im gleichen Ort. Stellt man ihre Wohnhäuser in einem Koordinatensystem dar, dann wohnt Leo in  \(L(-1|-7)\), Karmen in \(K(4|6)\) und Moritz in \(M(8|8)\). Alle drei fahren mit dem Bus zur Schule. Die Bushaltestellen befinden sich in den Punkten \(A(-2|1)\) und \(B(6|-3)\).

1. Untersuche, welches der Kinder von seinem Wohnort zu den beiden Haltestellen gleich weit hat.
2. Ermittle weitere Punkte, die von den beiden Haltestellen jeweils gleich weit entfernt sind und nenne die Ortslinie, auf der all diese Punkte liegen.

3  Konstruktionsaufgabe  (15 min) 𝕃

Zeichne die Gerade \(g\) durch \((0,-2)\) und \((-4,0)\), sowie den Punkt \(A(2|4)\) in ein Koordinatensystem ein.

1. Konstruiere die Gerade, die senkrecht zu \(g\) steht und durch \(A\) verläuft.
2. Konstruiere die Parallele \(p\) zu \(g\), die durch \(A\) verläuft.
3. Konstruiere zu \(g\) und \(p\) die Mittelparallele \(m\).

4  Seitenhalbierende im Dreieck  (10 min) 𝕃

Die Seitenhalbierende in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch \(A\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne diesen Schwerpunkt.

5  Besondere Punkte  (3 min)

6  Seitenhalbierende  (3 min)

In einem Dreieck konstruierst du alle drei Seitenhalbierenden. Sie schneiden sich in einem Punkt S. Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt S?
☐ S ist gleich weit von allen drei Seiten entfernt
☐ S liegt bei stumpfwinkligen Dreiecken immer außerhalb des Dreiecks
☐ S ist der Mittelpunkt des Umkreises
☐ S ist der Mittelpunkt des Inkreises
☐ S ist der Schwerpunkt des Dreicks
☐ S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1

7  Winkelhalbierende  (3 min)

In einem Dreieck konstruierst du alle drei Winkelhalbierenden. Sie schneiden sich in einem Punkt S. Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt S?
☐ S ist gleich weit von allen drei Seiten entfernt
☐ S liegt bei stumpfwinkligen Dreiecken immer außerhalb des Dreiecks
☐ S ist der Mittelpunkt des Umkreises
☐ S ist der Mittelpunkt des Inkreises
☐ S ist der Schwerpunkt des Dreicks
☐ S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1

8  Mittelsenkrechte  (3 min)

In einem Dreieck konstruierst du alle drei Mittelsenkrechte. Sie schneiden sich in einem Punkt S. Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt S?
☐ S ist gleich weit von allen drei Seiten entfernt
☐ S liegt bei stumpfwinkligen Dreiecken immer außerhalb des Dreiecks
☐ S ist der Mittelpunkt des Umkreises
☐ S ist der Mittelpunkt des Inkreises
☐ S ist der Schwerpunkt des Dreicks
☐ S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1

9  Höhen  (3 min)

In einem Dreieck konstruierst du alle drei Höhen. Sie schneiden sich in einem Punkt S. Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt S?
☐ S ist gleich weit von allen drei Seiten entfernt
☐ S liegt bei stumpfwinkligen Dreiecken immer außerhalb des Dreiecks
☐ S ist der Mittelpunkt des Umkreises
☐ S ist der Mittelpunkt des Inkreises
☐ S ist der Schwerpunkt des Dreicks
☐ S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1

10  Brunnen  (k.A.)

Drei Dörfer A, B und C sollen durch einen gemeinsamen Brunnen versorgt werden, der von allen drei Dörfern gleich weit entfernt ist. Konstruieren den Standort des Brunnen.

11  Dreieck im Kreis  (k.A.)

A und B sind zwei gegenüberliegende Punkte auf einem Kreis. C ist ein weiterer Punkt auf dem Kreis. Erläutere die Eigenschaften des Dreiecks.

12  Zirkel und Lineal  (k.A.)

Du willst prüfen, ob ein Winkel in einem Werkstück exakt 90 Grad hat, hast aber kein Geodreieck, sondern nur Zirkel und Lineal. Erläutere, wie du den Satz des Thales dafür nutzen kannst.

13  Entfernung  (k.A.)

Erläutere, warum sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks immer in genau einem Punkt schneiden.