Zum Inhalt springen
Version 12.1 von akukin am 2025/07/12 18:34
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann verschiedenartige quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen.
5
6 {{aufgabe id="Wo ist der Fehler?" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team Mathebrücke" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
7 Wo ist der Fehler?
8
9 {{formula}}
10 \begin{align}
11 (x+2)^2 = 4 &\Leftrightarrow x^2 + 4 = 4 \\
12 &\Leftrightarrow x^2 =0\\
13 &\Leftrightarrow x=0
14 \end{align}
15 {{/formula}}
16
17 {{/aufgabe}}
18
19 {{aufgabe id="Quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
20 Berechne die Lösungsmenge in {{formula}}G = \mathbb{R}{{/formula}}.
21
22 **Aufgaben mit Lösungsformel:**
23
24 1.a) {{formula}}2x^2 + 3x - 2 = 0{{/formula}}
25 1.b) {{formula}}-x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}}
26
27 2.a) {{formula}}x^2 - 12x + 36 = 0{{/formula}}
28 2.b) {{formula}}x^2 - 10x + 25 = 0{{/formula}}
29
30 3.a) {{formula}}9x^2 - 6x + 2 = 0{{/formula}}
31 3.b) {{formula}}x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}}
32
33 (% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)
34 **Gleichung:** {{formula}}ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0{{/formula}}
35 Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
36 **Lösungsformel:** {{formula}}x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}{{/formula}}
37 **Diskriminante:** {{formula}}D = b^2 - 4ac{{/formula}}
38
39 **Sonderfälle:**
40
41 4.a) {{formula}}2x^2 - 24 = 0{{/formula}}
42 4.b) {{formula}}0,5x^2 - 4,5 = 0{{/formula}}
43
44 5.a) {{formula}}3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0{{/formula}}
45 5.b) {{formula}}1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0{{/formula}}
46
47 6.a) {{formula}}0,5x^2 - 0,75x = 0{{/formula}}
48 6.b) {{formula}}-5x^2 + x = 0{{/formula}}
49
50 (% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)
51 (((**Merke:**
52 **Anzahl der Lösungen:**
53 1) Wenn {{formula}}D > 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau zwei Lösungen.
54 2) Wenn {{formula}}D = 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau eine Lösung.
55 3) Wenn {{formula}}D < 0 {{/formula}} gilt, dann gibt es keine Lösung.
56 **Sonderfälle:**
57 //mit zusätzlichen, besonderen Lösungswegen//
58 4) {{formula}}b=0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + c = 0}{{/formula}}
59 („Reinquadratische Gleichung“):
60 Nach {{formula}}x^2{{/formula}} auflösen und Wurzel ziehen.
61 5) Produktform, also {{formula}}\mathbf{a(x-x_1)(x-x_2) = 0}{{/formula}}
62 („Satz vom Nullprodukt“):
63 Jeden Faktor einzeln gleich Null setzen.
64 6) {{formula}}c = 0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + bx = 0}{{/formula}}
65 Ausklammern:
66 Höchste gemeinsame Potenz von {{formula}}x{{/formula}} ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.)))
67
68 Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).
69
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73 Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.
74
75 (% style="white-space: nowrap" class="border" %)
76 |=Gleichung|=Auswahlmöglichkeiten|=Lösungsfeld
77 |1) {{formula}}3x^2 + 27 = 0{{/formula}}|a) -3 \\b) 3\\c) keine Lösung|
78 |2) {{formula}}6x^2 - 3x = 0{{/formula}}|a) -0,5\\b) 0\\c) 0,5|
79 |3) {{formula}}2(x - 1)(x - 4) = 0{{/formula}}|a) 1\\b) 0\\c) 4|
80 |4) {{formula}}2x^2 - x - 6 = 0{{/formula}}|a) -2\\b) 2\\c)-1,5|
81 |5) {{formula}}-3x(x+1)+4 = 2(x^2 + 2x - 4){{/formula}}|a) -2,4\\b) -1\\c) 1|
82 |6) {{formula}}\frac{5}{x-1} - x = -x + 1{{/formula}}|a) 1 \\b) 6 \\c) keine Lösung|
83
84 {{/aufgabe}}
85
86 {{aufgabe id="Leos Lösung" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
87 Die Gleichung {{formula}}\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}{{/formula}} war als Hausaufgabe zu lösen.
88 Leo behauptet: {{formula}}\text{L}=\{-3;1\}{{/formula}}
89 Was hältst du von seiner Lösung?
90
91 {{/aufgabe}}
92
93 {{aufgabe id="Vielfachheit von Lösungen" afb="III" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
94 Für welche Werte von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Gleichung
95 {{formula}}x^2 - 2x + a = 0{{/formula}}
96 zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?
97
98 {{/aufgabe}}
99
100 {{aufgabe id="Entscheiden für den effektiven Lösungsweg" afb="II" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
101 (%class=abc%)
102 1. Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist.
103 (%class=border%)
104 |||abc-Formel \\bzw. \\pq-Formel |Ausklammern\\und Satz vom\\Nullprodukt|{{formula}}x^2{{/formula}} isolieren\\und Wurzel\\ziehen
105 |a)|{{formula}}x^2 + 2x - 3 = 0{{/formula}}|||
106 |b)|{{formula}}4x^2 - 3 = 5{{/formula}}|||
107 |c)|{{formula}}2x^2 - x = 0{{/formula}}|||
108 |d)|{{formula}}5x - 14 = -x^2{{/formula}}|||
109 |e)|{{formula}}4x^2 = x^2{{/formula}}|||
110 |f)|{{formula}}2x - 8x^2 = -3{{/formula}}|||
111 |g)|{{formula}}4x(x - 3) = 0{{/formula}}|||
112 |h)|{{formula}}(x - 3)4x = 7{{/formula}}|||
113 (%class=abc start="2" %)
114 1. Bestimme jeweils die Lösungsmenge in {{formula}}G=\mathbb{R}{{/formula}}.
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Richtig oder falsch" afb="III" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
118 Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
119 Begründe, wenn die Umformung falsch ist.
120 (%class=noborder%)
121 |=Terme und Gleichungen:|= richtig |= falsch |= Begründung
122 |1. {{formula}}\frac{1}{2} (x + 3) \quad \mid \cdot 2 {{/formula}} \\
123 {{formula}}= x + 3{{/formula}}|(% style="text-align: center" %)
124 \\☐|(% style="text-align: center" %)
125 \\☐|
126 |2. {{formula}}\frac{5}{2} = (x + 3)(x + 4) \quad \mid \cdot 2{{/formula}} \\
127 {{formula}}5 = (2x + 6)(2x + 8){{/formula}} \\
128 {{formula}}5 = 4x^2 + 16x + 12x + 48{{/formula}}|(% style="text-align: center" %)
129 \\☐\\
130 ☐|(% style="text-align: center" %)
131 \\☐\\
132 ☐|
133 |3. {{formula}}-\frac{3}{2}x + a + x = \frac{5}{2}{{/formula}} \\
134 {{formula}}- \frac{1}{2}x + a = \frac{5}{2} \quad \mid \cdot 2{{/formula}} \\
135 {{formula}}-x + a = 5{{/formula}} |(% style="text-align: center" %)
136 \\☐\\
137 ☐|(% style="text-align: center" %)
138 \\☐\\
139 ☐|
140 |4. {{formula}}(-x + a)^2{{/formula}} \\
141 {{formula}}= a^2 - 2ax + x^2{{/formula}} |(% style="text-align: center" %)
142 \\☐|(% style="text-align: center" %)
143 \\☐|
144 {{/aufgabe}}
145
146 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
147 1.) Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung?
148 {{formula}}x^2 + 9 = 0{{/formula}}
149
150 ☐ Eine Lösung: {{formula}}x = -3{{/formula}}, da {{formula}}-3^2 = -9{{/formula}}
151 ☐ Zwei Lösungen: {{formula}}x_1 = 3, \ x_2 = -3{{/formula}}, da beides zum Quadrat {{formula}}-9{{/formula}} ergibt
152 ☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
153 ☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann.
154
155 {{/aufgabe}}
156
157 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}