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@@ -1,96 +3,110 @@ |
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-{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%. |
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-Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich) |
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+{{aufgabe id="Skate-Rampe" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc=""}} |
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+Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe. |
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-,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],, |
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+[[image:Skate-Rampe.PNG||width="450"]] |
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+(% style="font-size: 0.8em;" %)**Abb.: Skate-Rampe** (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). //„Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39)//. Braunschweig: Westermann Verlag.) |
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+ |
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+Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^) abzuschätzen. |
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+{{lehrende}} |
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+**Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht/für einen größeren Klassenarbeitsteil |
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+Wie schwer wäre sie, wenn man sie massiv aus Beton gießen würde? |
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+**Information:** Die Dichte von Beton liegt zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^ |
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+{{/lehrende}} |
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{{/aufgabe}} |
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-{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}. |
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-Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt. |
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+{{aufgabe id="Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} |
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+Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch. |
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-Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert. |
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+[[image:SpielzeugHolzbrücke.png||width="750"]] |
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-[[image:x hoch minus 2.png]] |
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-{{/aufgabe}} |
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+Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1{{/formula}} beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität. |
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-{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad. |
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25 |
+Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion {{formula}}g_l{{/formula}} und für das rechte Bauteil eine Funktion {{formula}}g_r{{/formula}} infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen. |
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21 |
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-So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt. |
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+1. Beurteile jede der folgenden Aussagen: |
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+I: {{formula}}-g_l(x)=g_r(-x){{/formula}} für {{formula}}-2\leq x \leq -1{{/formula}} |
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+II: {{formula}}g_l(x-1)=g_r(-x+1){{/formula}} für {{formula}}-1\leq x\leq 0{{/formula}} |
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-Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads. |
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+Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}{{/formula}} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden. |
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+ |
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+[[image:SpielzeugHolzbrückegesägt.png||width="750"]] |
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+))) |
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+(% style="list-style:" start="2" %) |
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+1. Der Graph von {{formula}}k{{/formula}} ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt. |
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+1. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von {{formula}}k{{/formula}} den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks. |
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{{/aufgabe}} |
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-{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In //[0; π/2]// soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt. |
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40 |
+{{aufgabe id="Funktionsschar Graph" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} |
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41 |
+Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}, \ a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} genau eine Extremstelle. |
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29 |
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-(% style="list-style: alphastyle" %) |
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-1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//. |
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-1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals |
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+1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft. |
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44 |
+1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung. |
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+[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
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-{{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}} |
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+__Hinweis__: |
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+Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig. |
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-ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist. |
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-))) |
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-1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert. |
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+**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**: |
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+Betrachtet wird die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}}. Dabei ist {{formula}}a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}} eine feste Zahl. Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} besitzt genau eine Extremstelle. |
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39 |
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-(Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.) |
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+1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft. |
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+1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen für zwei unterschiedliche Werte von {{formula}}a{{/formula}}, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung. |
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55 |
+[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
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{{/aufgabe}} |
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-{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist. |
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58 |
+{{aufgabe id="Rechteck im Graphen" afb="" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} |
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59 |
+Für eine Zahl {{formula}}a>0{{/formula}} zeigt die Abbildung den Graphen {{formula}}G{{/formula}} der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}}. {{formula}}G{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}schneiden sich im Koordinatenursprung und {{formula}}h{{/formula}} verläuft senkrecht zur Tangente an {{formula}}G{{/formula}} im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich {{formula}}G{{/formula}} und die //x//-Achse im Punkt {{formula}}\left(a\middle|0\right){{/formula}}. |
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60 |
+Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt: |
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+* Die beiden gemeinsamen Punkte von {{formula}}G{{/formula}} und der //x//-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks. |
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62 |
+* Eine Diagonale liegt auf der Geraden {{formula}}h{{/formula}}. |
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-* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall. |
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-* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind. |
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-* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge. |
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+Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist. |
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-Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat. |
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+[[image:FunktionRechteck.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
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+ |
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{{/aufgabe}} |
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-{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion. |
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+{{aufgabe id="Kamelaufgabe" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} |
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71 |
+Ein Scheich hatte in seinem Testament bestimmt, |
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+dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweite Sohn ein Drittel und der dritte Sohn ein Neuntel der Kamele des Scheichs erhalten sollten. |
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55 |
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-Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert: |
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-Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend. |
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74 |
+Als der Scheich starb, hinterließ seinen drei Söhnen 35 Kamele. |
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58 |
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-Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können: |
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-Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend. |
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+Die Söhne wussten nicht, wie sie Kamele aufteilen sollten. |
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61 |
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-Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage: |
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-Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt. |
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-{{/aufgabe}} |
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+Da kam ein kluger Mann auf seinem Kamel geritten und versprach ihnen Hilfe. Er stellte sein Kamel zu der Herde, dass es nun 36 Tiere waren und sagte: „Nun könnt ihr die Kamele nach dem Willen eures Vaters verteilen. |
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+Was übrig bleibt, nehme ich als Lohn für meinen guten Rat.“ |
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-{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist. |
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+Wie viele Kamele bekommen die einzelnen Söhne? |
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-Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet. |
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+Was bekommt der kluge Mann? |
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-Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer: |
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+Wie ist es zu erklären, dass bei der Teilung Tiere für den klugen Mann übrig bleiben? |
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72 |
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-* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers. |
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-* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, … |
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-* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, … |
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-* Gast 4… |
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-* … |
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-* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100. |
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+Haben die Söhne durch das Hinzustellen des 36. Kamels mehr oder weniger bekommen als im Testament vorgesehen? |
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79 |
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-Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist. |
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+{{lehrende}} |
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+**Sinn dieser Aufgabe:** |
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+Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen. |
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+{{/lehrende}} |
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-(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.) |
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83 |
{{/aufgabe}} |
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84 |
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-{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} |
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-[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde. |
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+{{aufgabe id="Gleichungen finden" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} |
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+Nenne drei nicht äquivalente* Gleichungen, die die Lösung 17 haben. |
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-Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken. |
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+ //*Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie durch Umformungen nach dem „Waagschalen-Prinzip“ auseinander hervorgehen.// |
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89 |
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-Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden. |
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91 |
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-Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann. |
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+{{lehrende}} |
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103 |
+**Sinn dieser Aufgabe:** |
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104 |
+Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen. |
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+{{/lehrende}} |
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93 |
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-,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],, |
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95 |
{{/aufgabe}} |
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+== IQB-Index == |
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+{{getaggt}}iqb{{/getaggt}} |
