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  • Gaußsche Summenformel.PNG
  • Nichomachus.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,3 +1,21 @@
	1	+{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="40"}}
	2	+Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
	3	+
	4	+Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
	5	+
	6	+Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
	7	+
	8	+[[image:x hoch minus 2.png]]
	9	+{{/aufgabe}}
	10	+
	11	+{{aufgabe id="Glücksrad" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	12	+[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
	13	+
	14	+So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
	15	+
	16	+Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
	17	+{{/aufgabe}}
	18	+
1	1	{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
2	2	[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
3	3
...	...	@@ -166,80 +166,7 @@
166	166	Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
167	167	{{/aufgabe}}
168	168
169		-{{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	187	+{{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
170	170	Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
171	171	{{/aufgabe}}
172	172
173		-
174		-{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
175		-Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
176		-sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
177		-[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
178		-
179		-{{lehrende}}
180		-**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
181		-Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
182		-
183		-**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
184		-Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
185		-**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
186		-**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
187		-**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
188		-Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
189		-die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
190		-{{/lehrende}}
191		-{{/aufgabe}}
192		-
193		-{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
194		-„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
195		-
196		-{{lehrende}}
197		-**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
198		-{{/lehrende}}
199		-
200		-Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
201		-[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
202		-
203		-Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
204		-{{/aufgabe}}
205		-
206		-{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
207		-
208		-{{lehrende}}
209		-**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
210		-
211		-**Aufgabe 1**
212		-
213		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
214		-
215		- {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
216		-
217		-Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
218		-
219		-**Aufgabe 2**
220		-
221		-Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
222		-
223		-**Aufgabe 3**
224		-
225		-Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
226		-Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
227		-
228		-**Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
229		-
230		-**Aufgabe 1.1**
231		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
232		- {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
233		-a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
234		-b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
235		-
236		-Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
237		-
238		-**Aufgabe 1.2**
239		-
240		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
241		- {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
242		-Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
243		-{{/lehrende}}
244		-
245		-{{/aufgabe}}

Gaußsche Summenformel.PNG

Author

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1		-XWiki.akukin

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Nichomachus.PNG

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