Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra 5_4

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -34,15 +34,15 @@
34	34	Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}PQS{{/formula}}.
35	35	</p>
36	36	//Lösung//
37		-<br>
	37	+<br><p>
38	38	Da {{formula}}P{{/formula}} auf der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse liegt, hat er die Form {{formula}}P\left(k\left|0\right|0\right){{/formula}} mit einer reellen Zahl {{formula}}k{{/formula}}. Da {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} liegen soll, muss gelten:
39		-<br>
40		-{{formula}}\begin{matrix}k\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot \begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right){{/formula}}
41		-<br>
	39	+</p><p>
	40	+{{formula}}\left(\begin{matrix}k\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right){{/formula}}
	41	+</p>
42	42	Aus {{formula}}x_2=0{{/formula}} folgt {{formula}}0=2+t{{/formula}} und damit {{formula}}t=-2{{/formula}}.
43		-<br>
	43	+<br><p>
44	44	Setzt man {{formula}}t=-2{{/formula}} in die erste Zeile {{formula}}k=1+t\cdot1{{/formula}} ein, erhält man {{formula}}k=-1{{/formula}}. Damit ist {{formula}}P(-1|0| 0){{/formula}}.
45		-<br>
	45	+</p>
46	46	Die Seite {{formula}}PQ{{/formula}} des Dreiecks liegt in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, denn bei beiden Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}} ist die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate Null. Da {{formula}}S{{/formula}} senkrecht über {{formula}}Q{{/formula}} liegt (die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate ist 3 anstatt 0; ansonsten sind alle Koordinaten gleich), ist {{formula}}\overrightarrow{QS}{{/formula}} orthogonal zu {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}}. Man kann folglich die Beträge von {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{QS}{{/formula}} als Länge der Grundseite beziehungsweise Länge der Höhe des Dreiecks auffassen.
47	47	<p>
48	48	Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks: