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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1

Version 1.1 von akukin am 2024/12/30 18:56
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6 === Teilaufgabe b) ===
7 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
8 {{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}
9 <br><p>
10 {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}{{/formula}}
11 </p>
12 Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei {{formula}}x=\frac{8}{3}{{/formula}} liegt.
13 <br>
14 {{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}
15 {{/detail}}
16
17 === Teilaufgabe c) ===
18 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
19 {{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}} Somit ist {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}} Wendestelle.
20 <br>
21 Steigung der Wendetangente: {{formula}}f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}{{/formula}}
22 <br>
23 Schnittwinkel mit der x-Achse: {{formula}}\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ{{/formula}}
24 {{/detail}}
25
26 === Teilaufgabe d) ===
27 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
28 {{formula}}s^{\prime\prime}\left(x\right)=2x{{/formula}}
29 <br>
30 {{formula}}f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0{{/formula}}
31 {{/detail}}
32
33 === Teilaufgabe e) ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
35 Der Wert {{formula}}u_1=3{{/formula}} ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.
36 {{/detail}}
37
38 === Teilaufgabe f) ===
39 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
40 Gleichung der Parabel {{formula}}p{{/formula}} mit {{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}
41 <br>
42 {{formula}}\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}{{/formula}}
43 <br>
44 {{formula}}p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right){{/formula}}
45 {{/detail}}
46
47 === Teilaufgabe g) ===
48 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
49 {{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}
50 <br>
51 {{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}} mit {{formula}}e^{f\left(x\right)}>0{{/formula}}
52 <br>
53 {{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.
54 {{/detail}}