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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,6 +5,50 @@
5 5  {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 +
9 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 +//Aufgabenstellung//
11 +<br><p>
12 +Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 +</p>
14 +//Lösung//
15 +<br>
16 +Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 +<br>
18 +{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 +<br>
20 +{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 +<br>
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 +<br>
24 +{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 +<br>
26 +Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
27 +
28 +{{formula}}
29 +\left\{
30 +\begin{aligned}
31 +0 + 1s &= 5 + 3r \\
32 +3 - 2s &= -3 - 4r \\
33 +0 + 2s &= 2 + 2r
34 +\end{aligned}
35 +\right\}
36 +\Leftrightarrow
37 +\left\{
38 +\begin{aligned}
39 +s - 3r &= 5 \\
40 +-2s + 4r &= -6 \\
41 +2s - 2r &= 2
42 +\end{aligned}
43 +\right\}
44 +\Leftrightarrow
45 +r = -2 \land s = -1
46 +{{/formula}}
47 +
48 +Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 +
50 +{{/detail}}
51 +
8 8  === Teilaufgabe b) ===
9 9  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
10 10  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -12,11 +12,43 @@
12 12  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
13 13  {{/detail}}
14 14  
59 +
60 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
61 +//Aufgabenstellung//
62 +<br><p>
63 +Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
64 +<br>
65 + //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
66 +</p>
67 +//Lösung//
68 +<br>
69 +Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
70 +<br>
71 +Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
72 +<br>
73 +Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
74 +<br><p>
75 +Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
76 +</p>
77 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
78 +<br>
79 +Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
80 +<br>
81 +{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
82 +<br>
83 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
84 +<br>
85 +Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
86 +<br>
87 +{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
88 +{{/detail}}
89 +
15 15  === Teilaufgabe c) ===
16 16  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
17 17  Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
18 18  <br>
19 19  Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
95 +[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
20 20  {{/detail}}
21 21  
22 22  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -32,7 +32,7 @@
32 32  
33 33  === Teilaufgabe e) ===
34 34  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
35 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
111 +Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
36 36  <br>
37 37  Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
38 38  <br>
... ... @@ -45,5 +45,5 @@
45 45  <br>
46 46  {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
47 47  <br>
48 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
124 +{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
49 49  {{/detail}}