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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1

Version 4.1 von akukin am 2025/01/16 18:59
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
4 {{/detail}}
5
akukin 2.1 6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
11 <br>
12 Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
17 <br>
18 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
19 {{/detail}}
20
akukin 1.1 21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
24 <br>
25 {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
26 <br>
27 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
28 {{/detail}}
29
akukin 2.1 30
31 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 //Aufgabenstellung//
33 <br><p>
34 Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
35 <br>
36 {{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
37 <br>
38 {{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
39 </p>
40 //Lösung//
41 <br>
42 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 <br>
44 {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 <br>
akukin 4.1 46 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
akukin 2.1 47 {{/detail}}
48
akukin 1.1 49 === Teilaufgabe c) ===
50 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
51 <p>
52 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
53 </p>
54 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
55 <br>
56 Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
59 =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
60 {{/detail}}
61
akukin 2.1 62
63 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 //Aufgabenstellung//
65 <br><p>
66 Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
68 Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69 </p>
70 //Lösung//
71 <br>
72 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
akukin 4.1 73 <br>
akukin 2.1 74 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 <br>
akukin 4.1 76 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
akukin 2.1 77 <br>
78 Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
akukin 4.1 79 <br><p>
akukin 2.1 80 Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
akukin 4.1 81 </p>
akukin 2.1 82 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
83 <br>
84 {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
85 <br><p>
86 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
87 </p>
88 {{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
89 {{/detail}}
90
akukin 1.1 91 === Teilaufgabe d) ===
92 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
93 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
94 <br>
95 {{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
96 <br>
akukin 1.2 97 {{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
akukin 1.1 98 <br>
99 {{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
100 <br>
101 {{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
102 <br>
103 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
104 {{/detail}}
105
akukin 3.1 106
akukin 2.1 107 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108 //Aufgabenstellung//
109 <br><p>
110 Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
111 (((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
112 * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
113 * 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
114 den Lauf abgebrochen.
115 </p>
116 //Lösung//
117 <br>
118 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
akukin 3.1 119 <br>
akukin 2.1 120 Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
121 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
122 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
akukin 4.1 123 |{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
124 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
akukin 2.1 125 |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
126
127 Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
128 <br>
129 Schwarz: Angaben aus dem Text
130 <br>
akukin 3.1 131 (% style="color:green" %) (((
132 Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 )))
134 (% style="color:red" %) (((
135 Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 )))
137 <br>
akukin 2.1 138 Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
139 <br>
140 {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
akukin 4.1 141 <br>
akukin 2.1 142 {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
143 <br>
144 Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
145 <br>
146 Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
147
148 {{/detail}}
149
akukin 1.1 150 === Teilaufgabe e) ===
151 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
akukin 3.1 152 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
akukin 1.1 153 <br>
akukin 3.1 154 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
155 <br>
akukin 1.1 156 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
akukin 1.2 157 <br>
akukin 1.1 158 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
159 <br>
160 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
161 {{/detail}}
162
akukin 3.1 163
164 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
165 //Aufgabenstellung//
166 <br><p>
167 Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
168 </p>
169 //Lösung//
170 <br>
171 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
172 <br>
173 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
174 <br><p>
175 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
176 </p>
177 Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 <br>
179 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
180 <br>
181 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
182 {{/detail}}
183
184
akukin 1.1 185 === Teilaufgabe f) ===
186 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
187 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
188 <br>
189 {{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
akukin 1.2 190 <br>
akukin 1.1 191 {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
akukin 1.2 192 <br>
akukin 1.1 193 {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
194 {{/detail}}