Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -1,6 +1,6 @@
  === Teilaufgabe a) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
--{{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09≈0,015{{/formula}}
++{{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
  <br>
  {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen.
  <br>
@@ -13,6 +13,41 @@
  {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br>
++Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
++<br>
++Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
++<br>
++{{formula}}E_1{{/formula}}: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.
++<br>
++{{formula}}E_2{{/formula}}: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt.
++<br><p>
++{{formula}}E_3{{/formula}}: Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
++<br><p>
++{{formula}}P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
++</p><p>
++{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
++<br>
++{{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}}  (Taschenrechner: binomialpdf)
++</p>
++{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
++<br>
++{{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}}
++<br>
++Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
++<br>
++{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}}  (Taschenrechner: binomialcdf)
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.
@@ -24,6 +24,25 @@
  {{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.
++<br>
++Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}})
++<br>
++Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
++<br>
++Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss  {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
++<br>
++{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}}
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe c) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
@@ -33,6 +33,30 @@
  |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|0,945|1
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
++<br>
++(zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}})
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
++| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
++|{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,|(% style="color:green" %)0,035,,6,,|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,,
++|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, |0,91|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,,
++|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055,,1,,|(% style="color:green" %)0,945,,7,,|1
++
++Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}}
++(% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}}
++<br>
++Pfadregel:  {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))
++(% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))
++Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe d) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
@@ -40,11 +40,47 @@
  Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich überprüfen durch den Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
++<br>
++Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann wären beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).
++<br>
++Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
++<br>
++{{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}}
++<br>
++Da {{formula}}P(A\cap I)\neq P(A)\cdot P(I){{/formula}}, folgt die stochastische Abhängigkeit.
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe e) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.
++<br>
++[[image:Venndiagramm_e).png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++<br>
++Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.
++<br>
++{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+ P(\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe f) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
@@ -52,6 +52,21 @@
  {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
++<br>
++Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
++<br>
++{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe g) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
  Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
@@ -59,8 +59,8 @@
  {{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
  (% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
  |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)  |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
--|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| 9|-0,5 |-0,5
--|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|0,91 -{{formula}}a{{/formula}} |0,09|{{formula}}a{{/formula}}
++|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
++|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
  {{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
  <br>
@@ -68,3 +68,39 @@
  <br>
  Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
  {{/detail}}
++
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens 6,50€ pro Stück erwirtschaften.
++<br>
++Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
++<br>
++{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
++(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
++|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)  |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
++|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
++|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
++
++Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}.
++<br>
++{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+ 0,09\cdot (-0,5) + a \cdot (-0,5){{/formula}}
++<br>
++{{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}(0,91-a)\cdot 9- 0,09\cdot 0,5 -0,5a=6,5{{/formula}}
++<br>
++Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden.
++<br>
++{{formula}}(0,91-a)\cdot 9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 \   \Leftrightarrow \  a\approx 0,173{{/formula}}
++
++<br>
++Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
++{{/detail}}

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