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Wiki-Quellcode von Tipp Stochastik

Version 3.1 von akukin am 2025/01/23 16:37
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis 1"}}
3 {{formula}} E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Hinweis 2"}}
8 {{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Hinweis 3"}}
13 {{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70 % von 20 Personen ist.
14 {{/detail}}
15
16
17 {{detail summary="Hinweis 4"}}
18 <p>
19 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
20 </p>
21 (Taschenrechner: binomialcdf)
22 {{/detail}}
23
24
25 {{detail summary="Hinweis 5"}}
26 {{formula}}P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
27 {{/detail}}
28
29 === Teilaufgabe b) ===
30 {{detail summary="Hinweis 1"}}
31 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200, \ p=0,09{{/formula}})
32 <br>
33 Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
34 {{/detail}}
35
36
37 {{detail summary="Hinweis 2"}}
38 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
39 {{/detail}}
40
41
42 {{detail summary="Hinweis 3"}}
43 {{formula}}P(14\leqY\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf zweimal)
44 {{/detail}}
45
46 === Teilaufgabe c) ===
47 {{detail summary="Hinweis 1"}}
48 „Bei 5,5 % aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“
49 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
50 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
51 |{{formula}}I{{/formula}}|||
52 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}||0,91|
53 |{{formula}}\sum{{/formula}} |?||1
54 {{/detail}}
55
56
57 {{detail summary="Hinweis 2"}}
58 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: {{formula}}P_? (?)=0,9{{/formula}}
59 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
60 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
61 |{{formula}}I{{/formula}}|||
62 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|
63 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1
64 {{/detail}}
65
66
67 {{detail summary="Hinweis 3"}}
68 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}
69 <br>
70 (% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= ?} {{/formula}}
71 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
72 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
73 |{{formula}}I{{/formula}}|||
74 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|
75 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1
76 {{/detail}}
77
78
79 {{detail summary="Hinweis 4"}}
80 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}
81 <br>
82 (% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= =P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?} {{/formula}}
83 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
84 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
85 |{{formula}}I{{/formula}}|||
86 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|
87 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1
88 {{/detail}}
89
90
91 {{detail summary="Hinweis 5"}}
92 Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden.
93 <br>
94 (% style="color:green" %)(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
95 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
96 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
97 |{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055|(% style="color:green" %)?|(% style="color:green" %) ?
98 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495 |0,91|(% style="color:green" %) ?
99 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|(% style="color:green" %)?|1
100 {{/detail}}
101
102 === Teilaufgabe d) ===
103 {{detail summary="Hinweis"}}
104 <p>
105 Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen.
106 </p><p>
107 Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten
108 <br>
109 Wenn {{formula}}P_I (A)=P(A){{/formula}}, dann spielt die Bedingung {{formula}}I{{/formula}} anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander.
110 </p>
111 Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
112 <br>
113 Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).
114 {{/detail}}
115
116 === Teilaufgabe e) ===
117 {{detail summary="Hinweis 1"}}
118 Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann.
119 {{/detail}}
120
121 {{detail summary="Hinweis 2"}}
122 Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.
123 {{/detail}}