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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
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bearbeitet von akukin
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am 2026/01/02 20:53
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,15 +5,7 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 -</p>
12 -//Lösung//
13 -<br><p>
14 -Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
15 -<br>
16 -[[image:Lösunga).png||width="250"]]
8 +
17 17  {{/detail}}
18 18  
19 19  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -29,25 +29,7 @@
29 29  
30 30  
31 31  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 -//Aufgabenstellung//
33 -<br><p>
34 -Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 -</p>
36 -//Lösung//
37 -<br><p>
38 -Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
39 -<br>
40 -Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
41 -<br>
42 -{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
43 -\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
44 -<br>
45 -Da
46 -{{formula}}
47 -\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
48 -{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
49 -<br>
50 -Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
24 +
51 51  {{/detail}}
52 52  
53 53  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -54,7 +54,7 @@
54 54  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 55  <p>
56 56  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
57 -orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
31 +orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
58 58  </p>
59 59  {{formula}}
60 60  \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -69,30 +69,7 @@
69 69  
70 70  
71 71  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 -//Aufgabenstellung//
73 -<br><p>
74 -Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 -</p>
76 -//Lösung//
77 -<br><p>
78 -{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 -<br>
80 -Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 -<br>
82 -Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
83 -<br>
84 -{{formula}}
85 -\begin{align*}
86 -\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
87 -\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
88 -\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
89 -\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
90 -= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
91 -\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
92 -&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
93 -\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
94 -\end{align*}
95 -{{/formula}}
46 +
96 96  {{/detail}}
97 97  
98 98  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -103,25 +103,12 @@
103 103  
104 104  
105 105  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
106 -//Aufgabenstellung//
107 -<br><p>
108 -Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
109 -<br>
110 -Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
111 -<br>
112 -{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
113 -</p>
114 -//Lösung//
115 -<br><p>
116 -Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
117 -<br>
118 -Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
119 -<br>
120 -Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
57 +
121 121  {{/detail}}
122 122  
123 123  === Teilaufgabe e) ===
124 124  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
62 +<p>
125 125  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
126 126  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
127 127  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -142,40 +142,5 @@
142 142  
143 143  
144 144  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
145 -//Aufgabenstellung//
146 -<br><p>
147 -Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
148 -<br>
149 -Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
150 -</p>
151 -//Lösung//
152 -<br><p>
153 -Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 -<br>
155 -Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
156 -{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
157 -<br>
158 -Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
159 -{{formula}}
160 -P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 -{{/formula}}.
162 -<br>
163 -//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}, also {{formula}}0 \le t \le 4{{/formula}}.//
164 -<p></p>
165 -Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 -<br>
167 -{{formula}}
168 -\begin{align*}
169 -& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
170 -& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
171 -& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
172 -& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
173 -& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
174 -& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
175 -& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
176 -& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
177 -\end{align*}
178 -{{/formula}}
179 -<br>
180 -Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
83 +
181 181  {{/detail}}