- Winkelhalbierende sind Geraden, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Im Koordinatensystem teilen die beiden Winkelhalbierenden jeweils die Winkel zwischen x-Achse und y-Achse:
Die 1. Winkelhalbierende ist gegeben durch die Gleichung \(y=x\) und die zweite durch \(y=-x\)
Hauptform:
Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=x=1\cdot x+0\) (d.h. \(m=1, \ b=0\)).Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=-x=(-1)\cdot x+0\) (d.h. \(m=-1, \ b=0\)).
Punkt-Steigungs-Form:
Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=x=1\cdot (x-0)+0\) (d.h. \(m=1, \ x_p=0, \ y_p=0\)).Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=-x=(-1)\cdot (x-0)+0\) (d.h. \(m=-1, \ x_p=0, \ y_p=0\)).
Produktform:
Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=x=1\cdot (x-0)\) (d.h. \(m=1, \ x_p=0\)).Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(y=-x=(-1)\cdot (x-0)\) (d.h. \(m=-1, \ x_p=0\)).
Achsenabschnittsform:
Da die beiden Winkelhalbierenden die x-Achse/bzw. y-Achse nur im Punkt Ursprung schneiden (d.h. \(x_0=0, \ y_0=0\)), das Teilen durch 0 jedoch nicht möglich ist, sind die Winkelhalbierenden nicht darstellbar.Allgemeine Form:
Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(-x+y=0\) (d.h. \(A=-1, \ B=1, \ C=0\)) oder \(x-y=0\) (d.h. \(A=1, \ B=-1, \ C=0\)).Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch \(x+y=0\) (d.h. \(A=1, \ B=1, \ C=0\))
Somit lassen sich beide Winkelhalbierende in allen Formen außer der Achsenabschnittsform darstellen.
2. Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch die Gleichung \(y=y_0\).
Die Parallele zur y-Achse ist gegeben durch die Gleichung \(x=x_0\).
\(y_0\) und \(x_0\) sind dabei beliebige reelle Zahlen.Hauptform:
Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch \(y=0\cdot x+b=b\) (d.h. \(m=0\), \(b\) beliebig).Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
Punkt-Steigungs-Form:
Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch \(y=0\cdot (x-x_p)+y_p=y_p\) (d.h. \(m=0\), \(x_p, \ y_p\) beliebig).Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
Produktform:
Die einzige Lösung, um eine Parellele zur x-Achse zu erhalten, wäre es, \(m=0\) zu setzen, wodurch man die Gleichung \(y=0\) erhält (d.h. die Parallele ist die x-Achse selbst).\(x_0\) ist dabei beliebig wählbar.Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
Achsenabschnittsform:
Um eine Parallele zur x-Achse bzw. zur y-Achse zu erhalten, müsste \(x_0\) bzw. \(y_0\) gegen unendlich gehen. Die Parallelen sind also nicht direkt darstellbar.Allgemeine Form:
Parallele zur x-Achse: Mit \(A=0, \ B=1\), \( C\) beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch \( y+C=0\)
Parallele zur y-Achse: Mit \(A=1, \ B=0 \), \( C\) beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch \( x+C=0\)3. Charakteristische Größen:
Hauptform: Steigung \(m\), y-Achsenabschnitt \(b\)Punkt-Steigungs-Form: Steigung \(m\), Punkt \((x_p|y_p)\)
Produktform: Steigung \(m\), Nullstelle \(x_0\)
Achsenabschnittsform: x-Achsenabschnitt \(x_0\), y-Achsenabschnitt \(y_0\)
Allgemeine Form: Die charakteristischen Größen, lassen sich nicht direkt ablesen.
- Winkelhalbierende sind Geraden, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Im Koordinatensystem teilen die beiden Winkelhalbierenden jeweils die Winkel zwischen x-Achse und y-Achse:
- Die Hauptform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man \(x_p=0\) setzt und \(y_p\) umbenennt zu \(b\).
Die Produktform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man \(y_p=0\) setzt und \(x_p\) umbenennt zu \(x_0\).
2. Wie wir in Teilaufgabe a) gesehen haben, lassen sich nur mit der Allgemeinen Form sowohl beiden Winkelhalbierenden als auch beide Parallelen der Koordinatenachsen darstellen.
- Die Hauptform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man \(x_p=0\) setzt und \(y_p\) umbenennt zu \(b\).
Umstellen der Achsenabschnittsform nach \(y\):
\[\begin{align*} \frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}&=1 &&\mid -\frac{x}{x_0}\\ \frac{y}{y_0}&=1-\frac{x}{x_0} &&\mid \cdot y_0\\ y&=y_0-\frac{x}{x_0}\cdot y_0=y_0-x\cdot \frac{y_0}{x_0}=(-\frac{y_0}{x_0})x+y_0) \end{align*}\]Vergleichen wir dies mit der Hauptform, so stellen wir fest, dass die Steigung \(m=-\frac{y_0}{x_0}\)ist.