Lösung Fussball

Analyse: 
Gegeben: Rechteckiges Spielfeld, ausgelegt mit Fußbällen, „quadratische Anordnung“, d. h.Mittelpunkte benachbarter Fußbälle bilden ein Quadrat.

Gesucht: Anzahl von Fußbällen auf dem Spielfeld, d.h. Anzahl von Kreisen, die in dem Rechteck Platz haben. Es wird angenommen, dass alle Bälle dieselbe Größe haben.

Durchführung: 
a) Benötigt werden die Maße der Spielfläche, d. h. die Seitenlängen des Rechtecks, sowie der Durchmesser der Bälle.

Schätzung: Spielfeld 70 m x 110 m
Durchmesser eines Balles: Zwischen 20 und 25 cm
d = 20 cm: 7000/20 = 350; 11000/20 = 550;
350 Reihen mit jeweils 550 Fußbällen: 350 ⋅ 550 = 192500 Fußbälle.
d = 25 cm: 7000/25 = 280; 11000/25 = 440;
280 Reihen mit jeweils 440 Fußbällen: 280 ⋅ 440 = 123200 Fußbälle.

b) Statt quadratisch könnte man die Fußbälle auch im Dreieck anordnen

Dadurch rücken die Reihen enger zusammen. Bei der quadratischen Anordnung haben die Reihen einen Mittelpunktsabstand von 2r, bei der Dreiecksanordnung ist es die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 2r: . Dies erhält man entweder exakt durch Berechnung (Pythagoras) oder näherungsweise durch Zeichnung (z. B. mit Münzen, Abstand wird um ca. ¼ r kleiner). Statt 2r haben die Reihen nun also ca. 1,75r Abstand. . Es passen mit der Dreiecksanordnung also ca. 14 % mehr Bälle auf das Spielfeld.

Reflexion: 
Die Spanne in a) ist sehr groß. Es bietet sich daher an, einen Schätzwert in der Mitte der beiden Werte anzugeben, also ca. 160 000 Fußbälle.
Bei b) könnte man noch berücksichtigen, dass bei der Dreiecksanordnung in jeder zweiten Reihe ein Ball weniger Platz hat. Bei 350 Reihen, d. h. 175 Bällen weniger, macht sich dies bei so vielen Bällen aber kaum bemerkbar. 14 % mehr Bälle bei ca. 160 000 Bällen sind 22 400 Bälle mehr! Auch die Frage, ob die letzte Reihe noch auf das Spielfeld passt, ist daher belanglos.