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Änderungen von Dokument Lösung Parabel und Gerade

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/22 17:17
Von Version 3.1
bearbeitet von akukin
am 2024/12/19 00:29
Änderungskommentar: Löschung des Bildes Graph(x 2)hoch2-3.png
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am 2024/12/22 15:12
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,7 +1,63 @@
1 -f(x)=(x+2)^2-3
2 -a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{formula}}.
1 +{{formula}}f(x)=(x+2)^2-3{{/formula}}
2 +a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{/formula}}.
3 3  
4 -Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es Sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{formula}} in der Skizze enthalten ist).
4 +Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).
5 5  
6 +[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
6 6  
8 +b) {{formula}}f(-3)=(-3+2)^2-3=-2{{/formula}}
9 + {{formula}}f(1)=(1+2)^2-3=6{{/formula}}
7 7  
11 +c) [[image:ParabelmitGerade.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
12 +
13 +d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{{/formula}}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte {{formula}}P_1{{/formula}} und {{formula}}P_2{{/formula}} zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:
14 +
15 +{{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2{{/formula}}
16 +
17 +Einsetzen von {{formula}}m=2{{/formula}} und {{formula}}P_2(1|6){{/formula}} in {{formula}}y=mx+b{{/formula}}:
18 +
19 +{{formula}}
20 +\begin{align}
21 +6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\
22 +4 &= b
23 +\end{align}
24 +{{/formula}}
25 +
26 +Somit lautet die Gleichung der Geraden
27 +{{formula}}g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4){{/formula}}
28 +
29 +e)
30 +
31 +{{formula}}
32 +\begin{align}
33 +2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\
34 +2x &> 4 \quad \mid :2 \\
35 +x &> 2
36 +\end{align}
37 +{{/formula}}
38 +
39 +Für {{formula}}x>2{{/formula}} ({{formula}}x \in ]2;\infty[{{/formula}}) verläuft die Gerade {{formula}}g{{/formula}} oberhalb der x-Achse.
40 +
41 +f) Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf {{formula}}g{{/formula}} steht, gilt für deren Steigungen {{formula}}m_h\cdot m_g =-1{{/formula}}. Mit {{formula}}m_g=2{{/formula}} ergibt sich:
42 +
43 +{{formula}}
44 +\begin{align}
45 +m_h\cdot m_g &=-1 \\
46 +m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\
47 +m_h &= -\frac{1}{2}
48 +\end{align}
49 +{{/formula}}
50 +
51 +Somit lautet die Geradengleichung {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}}. Da {{formula}}h{{/formula}} einen gemeinsamen Punkt mit {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} haben soll, setzen wir {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann {{formula}}b{{/formula}} bestimmen lässt.
52 +
53 +{{formula}}
54 +\begin{align}
55 +f(x)&=g(x) \\
56 +(x+2)^2-3&=2x+4\\
57 +x^2+4x+4-3&=2x+4 \quad \mid -2x-4\\
58 +x^2+2x-3&=0 \quad \mid MNF (abc-Formel)
59 +x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2}
60 +x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}}{2}
61 +\end{align}
62 +{{/formula}}
63 +
Graph(x 2)hoch2-3.png
Author
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1 +XWiki.akukin
Größe
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Inhalt
ParabelmitGerade.png
Author
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1 +XWiki.akukin
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