Wiki-Quellcode von Lösung Parabel und Gerade
Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/22 17:17
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| author | version | line-number | content |
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4.1 | 1 | {{formula}}f(x)=(x+2)^2-3{{/formula}} |
| 2 | a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{/formula}}. | ||
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1.1 | 3 | |
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7.1 | 4 | Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist). |
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1.1 | 5 | |
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7.1 | 6 | [[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
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1.1 | 7 | |
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7.1 | 8 | b) {{formula}}f(-3)=(-3+2)^2-3=-2{{/formula}} |
| 9 | {{formula}}f(1)=(1+2)^2-3=6{{/formula}} | ||
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1.1 | 10 | |
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7.1 | 11 | c) [[image:ParabelmitGerade.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |
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| 13 | d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{{/formula}}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte {{formula}}P_1{{/formula}} und {{formula}}P_2{{/formula}} zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann: | ||
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| 15 | {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2{{/formula}} | ||
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| 17 | Einsetzen von {{formula}}m=2{{/formula}} und {{formula}}P_2(1|6){{/formula}} in {{formula}}y=mx+b{{/formula}}: | ||
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| 19 | {{formula}} | ||
| 20 | \begin{align} | ||
| 21 | 6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\ | ||
| 22 | 4 &= b | ||
| 23 | \end{align} | ||
| 24 | {{/formula}} | ||
| 25 | |||
| 26 | Somit lautet die Gleichung der Geraden | ||
| 27 | {{formula}}g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4){{/formula}} | ||
| 28 | |||
| 29 | e) | ||
| 30 | |||
| 31 | {{formula}} | ||
| 32 | \begin{align} | ||
| 33 | 2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\ | ||
| 34 | 2x &> 4 \quad \mid :2 \\ | ||
| 35 | x &> 2 | ||
| 36 | \end{align} | ||
| 37 | {{/formula}} | ||
| 38 | |||
| 39 | Für {{formula}}x>2{{/formula}} ({{formula}}x \in ]2;\infty[{{/formula}}) verläuft die Gerade {{formula}}g{{/formula}} oberhalb der x-Achse. | ||
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7.2 | 40 | |
| 41 | f) Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf {{formula}}g{{/formula}} steht, gilt für deren Steigungen {{formula}}m_h\cdot m_g =-1{{/formula}}. Mit {{formula}}m_g=2{{/formula}} ergibt sich: | ||
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| 43 | {{formula}} | ||
| 44 | \begin{align} | ||
| 45 | m_h\cdot m_g &=-1 \\ | ||
| 46 | m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\ | ||
| 47 | m_h &= -\frac{1}{2} | ||
| 48 | \end{align} | ||
| 49 | {{/formula}} | ||
| 50 | |||
| 51 | Somit lautet die Geradengleichung {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}}. Da {{formula}}h{{/formula}} einen gemeinsamen Punkt mit {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} haben soll, setzen wir {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann {{formula}}b{{/formula}} bestimmen lässt. | ||
| 52 | |||
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8.1 | 53 | |
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7.2 | 54 | {{formula}} |
| 55 | \begin{align} | ||
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8.1 | 56 | f(x) &= g(x) \\ |
| 57 | (x+2)^2-3 &= 2x+4\\ | ||
| 58 | x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\ | ||
| 59 | x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)} | ||
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7.2 | 60 | \end{align} |
| 61 | {{/formula}} | ||
| 62 | |||
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8.1 | 63 | {{formula}} |
| 64 | \begin{align} | ||
| 65 | x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\ | ||
| 66 | x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\ | ||
| 67 | x_1&=-3; \ x_2=1 | ||
| 68 | \end{align} | ||
| 69 | {{/formula}} | ||
| 70 | |||
| 71 | Einsetzen der Lösungen {{formula}}x_1=-3{{/formula}} und {{formula}}x_2=1{{/formula}} in {{formula}}f(x){{/formula}} oder {{formula}}g(x){{/formula}} liefert die beiden y-Wert {{formula}}y_1=-2{{/formula}} und {{formula}}y_2=6{{/formula}} und somit die Schnittpunkte {{formula}}S_1(-3|-2){{/formula}} und {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}. | ||
| 72 | |||
| 73 | Durch Einsetzen der Schnittpunkte in {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}} lässt sich nun {{formula}}b{{/formula}} bestimmen: | ||
| 74 | |||
| 75 | {{formula}} | ||
| 76 | \begin{align} | ||
| 77 | -2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\ | ||
| 78 | -\frac{7}{2}&=b_1 | ||
| 79 | \end{align} | ||
| 80 | {{/formula}} | ||
| 81 | |||
| 82 | Somit ist {{formula}}h_1(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}{{/formula}}. Ebenso berechnet sich mit {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}: | ||
| 83 | |||
| 84 | {{formula}} | ||
| 85 | \begin{align} | ||
| 86 | 6&=-\frac{1}{2}\cdot 1+b_2 \quad \mid +\frac{1}{2} \\ | ||
| 87 | \frac{13}{2}&=b_2 | ||
| 88 | \end{align} | ||
| 89 | {{/formula}} | ||
| 90 | |||
| 91 | {{formula}}h_2(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}{{/formula}}. | ||
| 92 | |||
| 93 | |||
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9.3 | 94 | //Hinweis: Da in der Aufgabenstellung nur nach dem Funktionsterm einer Geraden gefragt war, reicht es, wenn man einer der beiden Geraden bestimmt.// |
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9.1 | 95 |