Änderungen von Dokument Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,7 +21,7 @@
21	21
22	22
23	23	//Durchführung: //
24		-1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
	24	+**1. mögliche Strategie:** Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25	25
26	26	[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27	27	Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
...	...	@@ -43,16 +43,77 @@
43	43
44	44	Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45	45	[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46		-Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
47		-von einer Ecke wegführen? Da nur die
48		-Verbindungsstrecke zweier nicht
49		-benachbarter Punkte Diagonale genannt
50		-wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende
51		-Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
52		-nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (//n//– 3)
53		-Ecken durch eine Diagonale verbunden
54		-werden. Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so
55		-berücksichtigt man wiederum alle
56		-Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
57		-muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
	46	+Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
58	58
	48	+Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
	49	+nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
	50	+
	51	+
	52	+Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
	53	+Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
	54	+
	55	+
	56	+
	57	+
	58	+
	59	+
	60	+
	61	+//Reflexion/Kontrolle: //
	62	+Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
	63	+{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
	64	+{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
	65	+
	66	+Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
	67	+
	68	+**2. mögliche Strategie:** An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
	69	+
	70	+**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
	71	+[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
	72	+
	73	+2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
	74	+
	75	+
	76	+
	77	+
	78	+
	79	+9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
	80	+
	81	+[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
	82	+
	83	+6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
	84	+Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
	85	++ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
	86	+Diagonalen insgesamt
	87	+
	88	+
	89	+
	90	+Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
	91	+(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
	92	+(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
	93	+(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
	94	+(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
	95	+...
	96	+2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
	97	+1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
	98	+Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
	99	+
	100	+Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
	101	+
	102	+{{lehrende}}
	103	+//Anmerkung: //
	104	+Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
	105	+allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
	106	+{{formula}}
	107	+\begin{align}
	108	+&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
	109	+&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
	110	+&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
	111	+&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
	112	+& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
	113	+\end{align}
	114	+{{/formula}}
	115	+{{/lehrende}}
	116	+
	117	+//Reflexion/Kontrolle: //
	118	+Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
	119	+9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.